专题2.3 函数单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数单调性高考核心考点，涵盖定义辨析、常见函数单调性、复合函数单调性及参数范围问题，按“概念—性质—应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法总结、真题讲解与分层练习，帮助学生构建从基础到综合的解题思路。 资料突出数学思维与数学语言培养，如用定义证明单调性强化推理意识，复合函数“同增异减”法则训练逻辑分析，设置基础例题与综合练习题分层突破。通过转化参数问题为不等式组等策略，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

专题2.3 函数单调性 2.3.1 常见函数的单调性 1.函数的单调性 （1）增函数和减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 2.常见函数的单调性 （1）一次函数：，定义域为∈R. ①当k>0时，函数在x∈R为增函数； ②当k<0时，函数在x∈R减函数. （2）反比例函数：,定义域为. ①当k>0时，函数在，为减函数； ②当k<0时，函数在，为增函数. （3）二次函数，定义域为∈R. ①当a>0时，函数在为减函数，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为增函数，函数在为减函数. （4）指数函数：，定义域为∈R. ①当0<a<1时，函数在x∈R为减函数；②当a>1时，函数在为增函数. （5）对数函数：，定义域为x∈. ①当0<a<1时，函数在x∈为减函数； ②当a>1时，函数在x∈为增函数. （6）幂函数：，当a>0时，定义为R；当a<0时，定义域为. ①当a>0时，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为减函数. （7）对勾函数：，定义域为. ①当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减； ②当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减. 3.复合函数的单调性 同增异减 t=g(x) y=f(x) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 4.判断函数单调性常用的结论 ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数． 例1.下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 例2.设函数,都是上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( ) ①若单调递增,单调递增, 则单调递增; ②若单调递增,单调递减, 则单调递增; ③若单调递减,单调递增, 则单调递减; ④若单调递减,单调递减, 则单调递减. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 例3.求函数的单调递增区间. 例4.若在R上单调递增，求取值范围. 例5.已知“双勾函数” 为常数). （1）证明:函数在上是减函数,在上是增函数; （2）已知,利用(1)的结论, 求函数的单调区间和值域. 1.已知函数．则f（x）的单调增区间为 . 2.若函数的单调递增区间是,则 . 3.给定函数: ①; ②; ③; ④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 4.函数的单调增区间是( ) A. () B. () C. () D. () 5.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 6.下列命题正确的有 （填序号）. ①若在区间上均为减函数，则在上为增函数； ②函数在其定义域上是减函数； ③对勾函数在定义域内无整体单调性； ④若为增函数，则与单调性相同. 7.已知函数，若在单调递增，求的取值范围. 8.已知是定义域为R的偶函数，且在单调递增，求的解集. 9.已知函数，判断其定义域与单调区间. 2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围 已知函数表达式中含有参数a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合. 一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围. 例1.已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 例2.已知函数在上单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 例3.已知函数. （1）若,则的定义域是 . （2）若在区间上是减函数,则实数的取值范围是 . 例4.已知，在R上单调递增，求实数的取值范围. 1.已知二次函数在上单调递减，则的取值范围为 . 2.已知二次函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 4.已知，在R上单调递增，则的取值范围为 . 5.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为( ) A. 16 B. 18 C. 25 D. 6.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.若函数与在区间上都是减函数, 则的取值范围( ) A. B. C. D. 8.若函数在区间内恒有,则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 9.若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知函数，若在上单调，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 函数单调性 2.3.1 常见函数的单调性 1.函数的单调性 （1）增函数和减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 2.常见函数的单调性 （1）一次函数：，定义域为∈R. ①当k>0时，函数在x∈R为增函数； ②当k<0时，函数在x∈R减函数. （2）反比例函数：,定义域为. ①当k>0时，函数在，为减函数； ②当k<0时，函数在，为增函数. （3）二次函数，定义域为∈R. ①当a>0时，函数在为减函数，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为增函数，函数在为减函数. （4）指数函数：，定义域为∈R. ①当0<a<1时，函数在x∈R为减函数；②当a>1时，函数在为增函数. （5）对数函数：，定义域为x∈. ①当0<a<1时，函数在x∈为减函数； ②当a>1时，函数在x∈为增函数. （6）幂函数：，当a>0时，定义为R；当a<0时，定义域为. ①当a>0时，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为减函数. （7）对勾函数：，定义域为. ①当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减； ②当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减. 3.复合函数的单调性 同增异减 t=g(x) y=f(x) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 4.判断函数单调性常用的结论 ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数． 例1.下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 解：对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误; 对于B, 因为在上单调递增，在上单调递减, 所以在上单调递减, 故B错误; 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确; 对于D, 因为，，，显然在上不单调，D错误.故选：C. 例2.设函数,都是上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( ) ①若单调递增,单调递增, 则单调递增; ②若单调递增,单调递减, 则单调递增; ③若单调递减,单调递增, 则单调递减; ④若单调递减,单调递减, 则单调递减. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 解：对于命题，令，均为增函数，而为减函数，错误； 对于命题，设 ，则，，， 故单调递增，命题正确； 对于命题，设，则，，， 故单调递减，命题正确. 对于命题，令，均为减函数，而为增函数，故错误. 故选：C. 例3.求函数的单调递增区间. 解：求定义域：或. 令内层函数，外层函数； 外层函数底数，因此在上单调递减； 根据复合函数“同增异减”，求 的单调递增区间， 等价于求在定义域内的单调递减区间. 二次函数开口向上，对称轴为； 在定义域或内，的单调递减区间为， 因此的单调递增区间为. 例4.若在R上单调递增，求取值范围. 解：分段函数在全体实数域上单调递增，需同时满足3个条件： 当时，一次函数单调递增：； 当时，对数函数单调递增：； 分段衔接处，左侧函数在的函数值不大于右侧函数在的函数值： ，化简得：. 联立三个条件得.故取值范围为[1,3]. 例5.已知“双勾函数” 为常数). （1）证明:函数在上是减函数,在上是增函数; （2）已知,利用(1)的结论, 求函数的单调区间和值域. 解: (1)证明:设,则, 又由 , 则 , , 则,即函数在上是减函数, 再设,则, 又由,则, ,则,即函数在上是增函数, 故函数在上是减函数, 在上是增函数. （2）根据题意,设, ,则; 则, ,在上为减函数,在上为增函数,又由在上为增函数, 当时, ;则在上为减函数,在上为增函数; , ;其最小值,最大值,则的值域为. 1.已知函数．则f（x）的单调增区间为 . 解：由，得2﹣x2＞0，解得， 又∵y＝log2x在（0，+∞）单调递增，y＝2﹣x2在单调递增， 在单调递减，∴的单调增区间为. 故答案为：. 2.若函数的单调递增区间是,则 . 解：由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得. 3.给定函数: ①; ②; ③; ④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 解：① 为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选; ② 为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选; ③ ，在上为减函数，在上为增函数，故③可选; ④ 为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选; 综上所述，可选的序号为②③.故选：B. 4.函数的单调增区间是( ) A. () B. () C. () D. () 解：由于在上递增，根据复合函数单调性同增异减，可知，函数在区间 上递增. 故选 A. 5.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 解：由得：,令, 则, 时,为减函数;时,为增函数; 为增函数,故函数的单调递增区间是.故选：D. 6.下列命题正确的有 （填序号）. ①若在区间上均为减函数，则在上为增函数； ②函数在其定义域上是减函数； ③对勾函数在定义域内无整体单调性； ④若为增函数，则与单调性相同. 解：①错误，反例：在上单调递减，在上不具备单一单调性； ②错误，定义域为，函数在上单调递增，在上单调递减，定义域上无整体单调性； ③正确，对勾函数在两个分开区间内分别单调，整个定义域上不存在统一的单调性； ④正确，复合函数“同增异减”，整体为增函数时，内外层函数单调性必须相同. 故答案为：③④. 7.已知函数，若在单调递增，求的取值范围. 解：将函数写为分段形式：当时，单调递增；当时，单调递减； 因此的单调递增区间为； 由题意是的子集，因此.故的取值范围为（-∞，1]. 8.已知是定义域为R的偶函数，且在单调递增，求的解集. 解：偶函数满足性质：； 因此. 函数在上单调递增，因此自变量满足； 两边平方得：，整理得， 因式分解：，解得：.故解集为：. 9.已知函数，判断其定义域与单调区间. 解：第一步求定义域：或，故定义域为. 令内层函数，外层函数； 函数在上分别单调递减；函数在上单调递增； 根据复合函数“同增异减”，内层单调递减、外层单调递增时，复合函数单调递减， 因此在上分别单调递减. 2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围 已知函数表达式中含有参数a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合. 一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围. 例1.已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 解：二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为， 开口向上的二次函数，在上单调递减. 要求区间，即，解得.故实数的取值范围为：. 例2.已知函数在上单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由得或，所以的定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增 所以，故选：D. 例3.已知函数. （1）若,则的定义域是 . （2）若在区间上是减函数,则实数的取值范围是 . 解：(1) 因为, ,所以,即, 故, 所以的定义域为. (2) 当,即时,要使在区间上是减函数,需要在上是减函数, 同时恒成立,即, 因为,即,所以在上是减函数显然成立, 此时,则,得 , 故; 当,即时,要使在区间上是减函数,需要在上是增函数, 同时恒成立,所以，即，此时显然成立.综上：或，即. 例4.已知，在R上单调递增，求实数的取值范围. 解：函数在R上单调递增，需同时满足： 一次段单调递增： 指数段单调递增： 衔接处左段值不大于右段下界： 联立得：.故答案为：. 1.已知二次函数在上单调递减，则的取值范围为 . 解：二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为：， 开口向下的二次函数，在单调递减. 要求区间，即，得.故答案为：. 2.已知二次函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 解：二次函数对称轴为.二次函数在开区间内不单调的充要条件：对称轴落在该开区间内部.故.故答案为：. 3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 解：令内层函数，外层函数在时单调递增. 由复合函数“同增异减”，需同时满足： ①在单调递增；②在恒成立. 开口向上，对称轴. ①；② 取两个条件交集，得.故答案为：. 4.已知，在R上单调递增，则的取值范围为 . 解：当时，斜率为正，单调递增； 当时，开口向下，对称轴，要在递增，需； 又处左段函数值右段函数值，则. 综上：.故答案为：. 5.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为( ) A. 16 B. 18 C. 25 D. 解：时，抛物线的对称轴为.据题意：当时，即 . 由 且 得 . 当时，抛物线开口向下，据题意得， 即 . 由且 得，故应舍去.要使得取得最大值， 应有 (). 所以，所以最大值为.故选：B. 6.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是．故选：D. 7.若函数与在区间上都是减函数, 则的取值范围( ) A. B. C. D. 解：对于,开口向下,对称轴为, 若函数在区间上都是减函数,则区间在对称轴的右侧,所以可得:. 对于,其相当于将的图象向左平移1个单位, 得到如下函数图象: 此时我们可以判断, 当时,则函数在第一象限为单调递减,而在单调递减,故的取值范围是. 故选: D. 8.若函数在区间内恒有,则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 解：由题意得：因为，则， 函数在区间内恒有，所以， 由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选 C. 9.若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由题意， 当，即时，在上，满足要求； 当，即时，在上，不满足要求. 综上，. 故选: A. 10.已知函数，若在上单调，求实数的取值范围. 解：分情况讨论： 当时，，为一次函数，在单调，符合题意； 当时，为二次函数，对称轴. 二次函数在闭区间单调对称轴不在区间内部，即， 解得：或. 故实数的取值范围为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $