解答题中有关新定义题型 高频考点压轴练 2026年数学中考复习备考

**基本信息** 聚焦中考新定义高频考点，15道解答题覆盖函数、几何等综合应用，适配三轮冲刺压轴题训练 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|15道|新定义运算、二次函数、几何综合、代数推理|新定义情境创新，压轴题梯度设计，核心素养导向（抽象、推理、应用）|

解答题中有关新定义题型 高频考点压轴练 2026年初中数学中考复习备考 1．【定义新运算】对正实数，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，请计算：__________． 【探究运算律】 对正实数运算“”是否满足交换律？ ， ． ∴运算“”满足交换律． (2)对正实数，运算“”是否满足结合律？请说明理由． 2．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 3．对于代数式和定义一种新运算：． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)已知：二次函数（为常数，且）； （i）若函数的对称轴为直线，求的值； （ii）若与的函数图象交点为，过点作一条直线，该直线与两个函数图象交于、两点，当、两点横坐标的差为5时，求的值． 4．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 5．综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究． 【探究1】 若抛物线与抛物线能围成“月牙线”． (1)求出抛物线与轴的交点和，的值； (2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围． 【探究2】 图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是． (3)求出这两条抛物线的解析式； (4)求该长方形水幕电影影像的长和宽． 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． (1)已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； (2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 7．综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 8．【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 9．【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 10．新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 11．新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 12．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 13．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 14．综合与探究    研究内容：“倍步点” 在平面直角坐标系中，我们定义：若点满足，则称点为“倍步点”．例如：点、都是“倍步点”．已知某抛物线的顶点是“倍步点”，且顶点的横坐标为，该抛物线与轴的交点为． (1)这条抛物线的顶点坐标为 ； (2)求这条抛物线的解析式，并求出抛物线上除顶点外另一个“倍步点”的坐标； (3)已知直线与轴、轴分别交于点、，将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，若新抛物线的顶点仍为“倍步点”，且顶点横坐标为，点是新抛物线上的动点，点是直线上的动点，求线段取最小值时点的坐标． 15．【新定义探究】 定义：在中，，分别是两边的中点，经过，两点的所有弧中，如果某条弧上所有的点都在的内部或边上，则称这条弧是的一条中内弧．这条弧所在圆的圆心记为． (1)理解定义：如图1，，，，表示经过，两点的四条弧，其中____不是的中内弧，____是的中内弧（填，，，）； (2)总结规律：经过、两点的所有中内弧中，点与线段有怎样的位置关系？点到中点的距离与经过、两点的中内弧长短又有怎样的关系？ (3)实践操作：如图2，若，，，连接．请你利用尺规作图法作出经过，两点的的最长中内弧，并计算它与围成图形的面积．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)拓广探索：如图3，在平面直角坐标系中，点，，将点，的横坐标扩大倍（）纵坐标保持不变，对进行变换得到，是的中位线，设最长中内弧所在圆的圆心的纵坐标为，直接写出与的函数关系式以及的取值范围． 参考答案 1．(1) (2)满足，理由如下， 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，运算“”满足结合律． （1）因为新运算规则为，所以将分别代入对应位置，按照规则计算即可； （2）如果要验证结合律是否成立，那么需要分别计算和的结果，再对比二者是否相等，计算时先将括号内的运算按照新运算规则化简，再将化简结果作为新的运算元素代入外层的新运算，最后整理表达式验证是否相等． （1）解：． （2）略 2．(1)； (2)6 （1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． （1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 3．(1)顶点坐标 (2)（i）；（ii）或 （1）根据新定义可得，再配方得出顶点式，即可得出答案； （2）（i）根据新定义得出，再根据对称轴得出关于m的方程，求出解即可； （ii）由（1）得函数，即可求出函数图象与轴交点，再根据函数过，可知交点为，然后设点坐标为，点坐标为，接下来表示出直线的解析式，再将直线的解析式和联立，由两根之和可得，同理可得：，再根据横坐标之差得，结合已知条件得，求出解即可． （1）解：由题意得： ， 所以二次函数的顶点坐标； （2）解：（i） 对称轴为直线， ， 解得， 的值为1； （ii）由（1）得函数， 令， 解得，． 函数图象与轴交点分别是和． 函数过，则交点为， 过点作一条直线分别与两个函数图象交于、两点， 可设点坐标为，点坐标为， 直线的解析式为． ， ， ∴． 又与交于点、， ， 即， 由两根之和得：． 又与交于点、， 同理可得：， 则， 当、两点横坐标的差为5时，， 或． 4．(1)； (2)或． 本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． （1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 5．(1)抛物线与轴的交点为、，， (2)“月牙线”上点的横坐标的取值范围为 (3)两条抛物线的解析式为、 (4)矩形的长为，则宽为 （1）先求出抛物线与轴的交点，再根据待定系数法求解，的值； （2）根据图像的性质即可得出结果； （3）根据题意，可得两种抛物线上的点，根据待定系数法求解函数表达式即可； （4）假设矩形的长为，则宽为，得出点的坐标表达式，代入其函数表达式，求解即可得出长方形水幕电影影像的长和宽． （1）解：对于抛物线， 当时，即， 解得或， 故当、时，抛物线， 得，解得， ∴抛物线与轴的交点为、，，； （2）解：∵抛物线、与轴的交点为、， ∴“月牙线”上点的横坐标的取值范围为； （3）解：根据题意， 设顶点靠上的抛物线表达式为， 顶点靠下的抛物线表达式为， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 故两条抛物线的解析式为、； （4）解：假设矩形的长为，则宽为， ∵， ∴靠下的抛物线顶点为，对称轴为直线， ∴矩形边所在直线为， ∴点坐标为， 将点代入， 得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴矩形的长为，则宽为． 6．(1)①，②； (2) （1）①该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，顶点坐标为，再结合新定义求解即可； ②先判断顶点在的范围内，求得，从而求得抛物线的表达式及的值； （2）由二次函数的图象上不存在“三倍点”，可得无解，进一步可得，最后根据二次函数的性质，可求得答案． （1）解：①∵二次函数， ∴该函数图象向左平移5个单位，解析式为：， ∴顶点坐标为， ∵顶点刚好是三倍点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为：； ②∵， 抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，的最小值是， ， ， ，抛物线的表达式为， 当时，； （2）解：二次函数的图象上不存在“三倍点”， ∴无解， 整理得：， 判别式， 解得：， 而 ， 当时，， ∵，则图象开口向上， 当时，随的增大而减小， ∴时，． 7．(1) (2)①3；② （1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． （1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 8．(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析； (2)； (3)①；②的最大值为． 本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值． （1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”； （2）根据定义列方程，即可求解参数； （3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求； ② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值． （1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下： 先将抛物线配方：， 顶点坐标为，顶点到直线的距离为：， 联立抛物线与直线的方程：， 解得，，截距为， 截距的一半为，而顶点到直线的距离为，， 因此不具有“等距截线性质”； （2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”： 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为： 联立抛物线与直线的方程：， 设两根为，由韦达定理，，， 截距为：， 根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半： 令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则， 代入得：， 解得（舍去），故； （3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为： ① 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为， 根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或， 又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义）， 故； ② 由①得抛物线为，关于直线对称， 设，则， 抛物线， 抛物线的最低点即顶点为， 在上方，在下方， ，解得， 的长度为：， ，即的最大值为． 9．(1) (2) (3) （1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当时，点在的左侧，②当时，点在之间，③当时，点在的右侧，结合函数图象即可求解． （1）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：； （2）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：．    （3）解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在之间， 点在点上方，． ③当时，点在的右侧， 点在点上方，． 综上，与的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， 当或时，， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与的函数关系图象如下图所示， 当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， ， ∴ 解得：． 10．（1）2，；（2）①；②P点坐标为或；③或 解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 11．(1)， (2)①，；②或 （）根据伴随抛物线的定义解答即可求解； （）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键． （1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点和 在抛物线上， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得，， ∴，； ②由①得，函数的图象为抛物线， 令，即， 解得或， ∴，， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得或， ∵轴， ∴， 设， 如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 或， 解得或， ∴或． 12．(1)11 (2)①；② （1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 13．(1) (2) (3)①；②或 本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解； （2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解； （3）①分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可． （1）解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点、的“合作点”，点， ∴， 由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：， 当时，，即， 点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时，即， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 14．(1) (2)； (3) （1）把代入运算即可； （2）利用顶点式设，再把代入运算即可得到抛物线解析式，再联立直线解析式求交点即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分析出最小时的位置关系，通过联立函数解析式求解即可． （1）解：由题意可得：把代入可得： ， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴； 联立和可得： ， 整理得：， 解得：或， 把 代入可得： ， ∴另一个“倍步点”的坐标为：； （3）解：由题意可得：把代入可得： ， ∴新抛物线的顶点坐标为：， ∴新抛物线的解析式为：， 把直线向上平移，使其与抛物线只有唯一一个公共点，过点作于点Q，则此时的长度最短，如图所示： 设平移后的直线解析式为：， 联立和可得： ， 整理可得：， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴， ∴， 把代入可得：， ∴． 15．(1)；，， (2)规律见解析 (3)图见解析，围成的图形的面积为 (4) （1）根据定义进行判断即可； （2）由垂径定理可判断点与的位置关系，到中点的距离与中内弧的长度，需要分两类讨论，结合作图，总结出规律即可； （3）连接、，交点即为点，以点为圆心，为半径，向下作优弧，交于点，圆弧即为所求最长的中内弧．围成的图形可以看作一个三角形和一个扇形，分别求出面积，再求和即可； （4）由题意容易判断，是、的垂直平分线，设直线交于点，交圆于点，交轴于点，则．由轴对称的性质可得，最长的中内弧必定在的下方，由中内弧的定义可知，，且点在点的上方或者重合．分类讨论，当，容易判定，则，计算得，利用勾股定理求出半径，结合求出；当，由（3）可知，圆弧与相切时最长，利用或，求得． （1）解：由图可知，圆弧有一部分在外，而圆弧、、都在的内部或边上， ∴圆弧不是的中内弧，圆弧、、是的中内弧； （2）解：由垂径定理可知，点在线段的垂直平分线上； 当中内弧为劣弧时，如图，设的中点为， 由图可知，越小，经过、两点的中内弧越长； 当中内弧为半圆或优弧时，如图， 由图可知，越大，经过、两点的中内弧越长； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴应选择向下凸的优弧， 如图，为的中点，圆弧即为所求： ∵是等边三角形， 又∵，分别是两边的中点， ∴，，平分，平分， ∴点是的内心，也是的外心， ∴、、、共线， ∵，分别是两边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴随着的增大而增大， 由（2）可知，越大，优弧越长， ∴当最大时，优弧最长， ∵， ∴圆与相切， ∴圆是的内切圆， ∴圆与相切于点， ∵圆弧上的点都在的内部或者边上，符合中内弧的定义，且此时取得最大值， ∴优弧即为所求最长的中内弧； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴优弧的圆心角为， 在中，，， ∴， ∴围成的图形的面积； （4）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∵是的中位线， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴的垂直平分线为直线， 同理，的垂直平分线也是直线， 由（2）可知，点在的垂直平分线上， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， 如图，设直线交于点，交圆于点，交轴于点， ∵是、的垂直平分线， ∴，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 当中内弧在上方时，由对称性可知，下方必定存在相等的圆弧， ∴最长的中内弧在的下方， 根据中内弧的定义可知，圆弧上的点都在的内部或者边上， ∴，且点在点的上方或者重合， ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在下方，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， 由（3）可知，圆与相切时，圆弧最长， 此时点与点重合， 由①可知，此时， 当点在下方时，， 在中，， ∵， ∴， 化简，得； 当点在上方时，如图，此时， 在中，， ∵， ∴， 化简，得； 此时，无论点、如何扩大，必定存在满足要求的圆弧， ∴； 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $