数与式--新定义问题和规律探究题 高频考点归纳 专项练 2026年中考数学一轮复习备考

数与式--新定义问题和规律探究题 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 一、单选题 1．小海经过探究，发现从到这九个两位数中，任何两个数的积的一种计算方法．如计算，第一步：把第一个因数与第二个因数的个位数相加，得；第二步：把第一步的结果乘，得；第三步：把第一个因数的个位数乘第二个因数的个位数，得；第四步：把第二、三两步的结果相加，得，这就是要计算的结果，即．若有两个两位数分别为，，则这两个两位数的积是（   ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 5．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 6．新趋势·新定义  对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 8．在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 9．定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 10．定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 11．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 12．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 二、填空题 13．我们规定：对于任意的正数的“※”运算为，※，计算2※8的结果为___________． 14．阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：_____．填9． ②如果正数m的平方等于a，则m是a算术平方根，如求9的算术平方根：____．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和幂，通过逆运算可以求指数．如：，____．填2； 再比如：，_____．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”：，求x，记作：．理解以上内容后计算______． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 16．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________（用含n的式子表示）．    17．若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 18．在实数范围定义运算“”：“ab”=2a+b，则满足“x（x﹣6）”=0的实数x是________． 19．定义一种新运算，，，则______． 20．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 三、解答题 21．在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)计算经过的顺序所得式子的运算结果； (2)若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 22．淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 23．根据如图所示的程序，解决下列问题： (1)求（结果需化简）； (2)若输出的的结果为3，求输入的的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B A C B B C B 题号 11 12 答案 C D 1．D 本题主要考查了列代数式，根据题中例题进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：第一步：把第一个因数与第二个因数的个位数相加，得； 第二步：把第一步的结果乘，得； 第三步：把第一个因数的个位数乘第二个因数的个位数，得； 第四步：把第二、三两步的结果相加，得， 故选：． 2．A 此题考查了与代数式有关的规律探索，观察代数式的系数和指数规律，进行解答便可． 解：∵，，，，，…， ∴代数式的系数是，的指数是， ∴第n个代数式为：， 故选：A． 3．D 本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 4．B 本题主要考查寻找单项式的规律，包括系数符号、系数绝对值的变化规律，以及未知数的指数变化规律；先观察单项式的系数和次数的规律，得出系数的规律是，次数的规律是，再根据规律写出第n个单项式即可． 解：∵单项式的系数分别是，，，，，．．．，， 次数的规律是从1开始的连续的奇数，即1，3，5，7，9，…，， ∴第n个单项式是：， 故选：B． 5．A 本题考查了数字类规律探究，通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，然后由即可求解． 解：因为，，，，，，，，…， 通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环， 所以， 所以末位数字是2． 故选A． 6．C 本题考查了定义新运算和解一元一次方程．理解新定义运算的含义是解题的关键．根据新运算的定义：，将变换成求解即可． 解：，， ， 化简得：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故选：C． 7．B 本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可． 解：∵， ∴ ， 故选：B． 8．B 本题考查了定义新运算、一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据新定义可得，即可解出的值． 解：，， ， 解得：． 故选：B． 9．C 本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选：C ． 10．B 本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 解：∵， ∴ ； 故选：B 11．C 首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 12．D 先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 13．/ 本题考查了二次根式的化简及运算.根据新定义运算法则，将2※8进行变形，然后进行运算即可． 解：2※8 . 故答案为：. 14．5 本题主要考查幂的运算，根据材料内容进行解答即可． 解：根据题意得，， 故答案为：5． 15．/0.75 本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 16．/ 当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可． 解：当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 第n个图案有个三角形， 每个三角形用三根， 故第n个图案需要火柴棍的根数为． 故答案为：． 本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 17．/ 本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 18．2 解：根据题中的新定义化简“x（x﹣6）”=0，得：2x+x﹣6=0，   解得：x=2， 故答案为2． 19． 本题考查新定义运算，分式混合运算，正确理解实数m，n定义的新运算是解决问题的关键． 先根据新定义的运算，将转化成，再根据分式混合运算法则计算即可． 解：∵ ∴ ． 20． 仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 21．(1) (2)见解析 本题考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）依题意得到，，得到，即可得到结论． （1）解：依题意经过的顺序所得式子的运算结果为； （2）证明：依题意得，，， 无论取何值时，的值均为非负数． 22．(1) (2) (3) 本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． （1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 23．(1) (2)的值为 本题主要考查了解分式方程，分式的四则混合计算，正确理解题意求出C的结果是解题的关键． （1）根据题意可得，据此先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． （1）解：由题意得， ． （2）解：依题意得：， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴输入的的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $