解答题中情境题高频考点压轴练2026年初中数学中考复习备考

**基本信息** 以情境化问题为载体，系统整合统计概率、方程不等式、几何变换及函数应用，通过典例提炼解题方法，构建“情境—问题—方法—应用”的逻辑链条，培养数据意识、推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|2题|数据处理（平均数/中位数）、列表法求概率|从生活情境抽象数据，通过计算与推理分析数据特征| |方程与不等式|1题|分式方程建模、不等式求解|依据实际采购情境建立数量关系，用代数方法解决优化问题| |几何变换|7题|折叠/旋转性质、全等/相似判定、辅助线构造|从平行四边形到正方形，结合变换性质推导线段关系与位置关系| |函数应用|2题|待定系数法、二次函数最值|将抛接球、光反射情境转化为函数模型，求解运动轨迹与最值|

解答题中情境题 高频考点压轴练 2026年初中数学中考复习备考 1．生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 (1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； (2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． (3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 2．2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为 道； (2)求所抽取学生答对题数的平均数； (3)学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1000名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数． 3．项目名称：红色文创·匠心算理——辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当．” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐．沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求．为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土．已知两种粘土购进的数量相同，且每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元． 二、项目任务 任务1：核算原料成本 (1)请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务2：制定采购计划 (2)王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100份用于赶工．请问B款改良粘土最多能购进多少份？ 4．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在平行四边形中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E． 数学思考： (1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．请你证明“兴趣小组”提出的问题； 拓展探究： (2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： (3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，求的长． 5．【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度． 6．问题情境： “综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图1所示 （1）的度数为____________； （2）若，求的最大值； 拓展应用： （3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积． 7．【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 8．[问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：． 小明的证明思路是： 如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是： 如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．          [结论运用] （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值． [迁移拓展] （4）图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和． 9．[问题情境]在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中， ，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E． (1)[初探感知]如图①， ； (2)[深入领悟]如图②，当线段经过点C时，求证：； (3)[融会贯通]如图③，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 10．物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 11．某校春季趣味运动会上，“默契抛接球”项目正在热烈进行中．数学兴趣小组借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，1个单位长度代表1米．小诺在点处将球（看成点）抛出，其运动路线为抛物线：的一部分，小哲恰好在点处接住，随后跳起将球回抛，其运动路线为抛物线：的一部分． (1)________， ________． (2)当时，求小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度． (3)若小诺发现在x轴上方1米的高度上，且到点A水平距离不超过1米的范围内可以接住球，请直接写出符合条件的n的取值范围． 12．【问题情境】 (1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 (2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 (3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 (4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 13．综合与实践 问题情境：数学课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在四边形中，．求证：． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师提出了新问题，请你解答． ①请连接，并直接写出的度数； ②探究线段与的关系，并证明． 问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出与之间的数量关系，则图2中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． 如图2，若，求的值． 14．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，，点在边上，，，延长至点，连结．求证：． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，连结交于，若，，求证．” 问题解决：（3）数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对此题进行变式，提出新的问题，请你解答． “如图3，在中，．点在边上，点在内．，，，连结交于点，求的值”． 参考答案 1．(1)抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大 (2)2 (3)这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析 （1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案； （2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案； （3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案． （1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题， 乙校区的学生答对题数的平均数为题， ∵， ∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大； （2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题， ∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题， ∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变， 若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了， ∴最少又测试了2人； （3）解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下： 列表如下： 小宇小辉 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种， ∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为， ∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同， ∴这个活动规则对他们双方公平． 2．(1)见解析；3.5 (2)3.34道 (3)200人 （1）先求得答对5道题的人数，即可补全条形统计图；根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）利用样本估计总体即可求解． （1）解：答对题数为5的人数是：， 条形图如图所示： ， 排序后，第25个数据是3，第25个数据是4， 故抽取学生答对题数的中位数为道； （2）解：（道）． 答：所抽取学生答对题数的平均数是3.34道． （3）（人）． 答：获得奖励的学生人数是200人． 3．(1)A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元 (2)64份 （1）设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元，根据用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土，两种粘土购进的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进m份B款改良粘土，根据计划用不超过1320元的总费用，列出不等式进行求解即可． （1）解：设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 元， 答：A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元； （2）解：设购进m份B款改良粘土，则购进份A款改良粘土， 根据题意可得：， 解得：， 答：最多可以购进64份B款改良粘土． 4．(1)见解析 (2)，见解析 (3)5 （1）由折叠的性质可知，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接．由折叠的性质可知，，由，，得到；由点P是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明，得到，再根据平角的定义得到，则； （3）延长交的延长线于点T．设．由折叠的性质可知，，再证明，得到，证明，得到，即可求出． （1）证明：由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：结论：． 理由：连接．由折叠的性质可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点T．设． 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．问题情境：，理由见解析；问题探究：45 问题情境：过点B作分别交于点G、F，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论； 问题探究：连接，过点Q作，分别交于点H、I，证出是等腰直角三角形，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论． 问题情境： 线段之间的数量关系为． 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，AB∥CD， 过点B作分别交于点G、F． ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 问题探究： 解：连接，过点Q作，分别交于点H、I，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：45． 6．（1） （2） （3） （1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答． （2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答． （3）分两种情况补充图形，当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，易得,由勾股定理可知,解得：, 设,则,代入相似得到的比例式即可求解，从而得到面积；当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，同理可求解. 解：（1）如图： ∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）设则设， ∵折叠 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值， 把代入，得出； ∴的最大值为 （3）分两种情况： 当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接 由折叠情景，得出， 易得, 则有, 由勾股定理可知, ∴, 解得：, 设,则, ∴， 解得： ∴ 当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接， 由折叠情景，得出， 易得, 则有, 同（1）可得：, 设设，则, ， 解得： ∴ 7．(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． （1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． （1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 8．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） （1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：． （4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和． （1）证明： 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明： 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作，垂足为，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为． （4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由问题情景中的结论可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为，的中点， ∴，， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和． 本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 9．(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． （1）解：根据旋转的性质得到， ，， ； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由：如图，延长交于点 H， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．(1) (2)4或5 本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． （1）解：，，且轴， ， 点为平面镜的中点， ， 点的坐标为， 将和分别代入， 得， 解得， 所在直线的解析式为； （2）解：如图，取点关于轴的对称点． ， ， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得， ， ， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ， 为整数， 或5． 11．(1)，； (2)小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米； (3)． （1）点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）求得点A的坐标范围为到，求得n的取值范围，即可求解． （1）解：∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则； （2）解：∵，， ∴抛物线： ， ∵，∴当时，有最大值，最大值为， ∴小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米； （3）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到球， ∴点A的坐标范围为到， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得， ∴． 12．(1)见解析 (2) (3)米 (4) （1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答； （3）分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得为等腰三角形，则，求出，同理（1）得，四边形是平行四边形，当时，有最小值，则有最小值，解直角三角形即可求解； （4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据，求出，即可解答． （1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点作交延长线于点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形； ∴， ∴， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，在中，， ∴，即的最小为； （3）解：分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作， ∵正六边形中，，米， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 同理，得米，， 同理（1）得为等腰三角形，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值，则有最小值， 此时，， ∴（米）， ∴的最小值为米， 即两条步道总长度的最小值为米； （4）解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接， 同理（1）得为等腰三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积为， 当点重合时，有最小值，最小值为的长， 此时，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 此时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形的最小面积为． 13．（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3） （1）由等边对等角得到，再根据，即可得解； （2）①证明四点共圆，即可得到；②过点作于点，交于点，连接，根据等腰三角形的性质和得到，，根据相似三角形的性质得到，再证明，可得，即可得到结论； （3）过点作于点，交于点，连接，过点作于点，设，仿照（2）的证明方法先证明，得到，，根据，结合三角形内角和和外角的性质可得，从而证明，可得，推出，，再根据，，利用勾股定理得，所以，再利用四边形是矩形，得出，，由勾股定理得，再根据，由比例性质得，代入数据即可． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 过点作于点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作于点，交于点，连接，过点作于点，设， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． ∴的值为． 本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，四点共圆等等，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．通过作辅助线并灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 14．独立思考：见解析；实践探究：见解析；问题解决： （1）说明即可证明结论； （2）首先利用证明，得，取的中点，连接，可知为的中位线，由，则，即可证明结论； （3）延长至点，使，连接，利用两边成比例且夹角相等得，从而说明，得，设，，，进而解决问题． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 又，， ， ， 如图2，取的中点，连接， ， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，延长至点，使，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设，，， ， ， ， 又， ， ， ． 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $