全册期末复习专题卷-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 全册综合复习卷，系统整合数列与导数核心知识，通过基础到综合题型构建逻辑推理与数学应用能力训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|约8题|涵盖等差等比基础计算、前n项和、递推关系及实际应用（如环权问题）|以定义为起点，推导通项与求和公式，关联函数性质分析单调性与最值| |导数|约9题|涉及切线方程、单调性判断、极值分析及恒成立求参|从导数概念出发，构建“求导-判断符号-分析性质”应用链条，结合函数图像深化直观理解| |综合应用|约2题|跨模块结合（如数列与函数）、实际情境建模（如历史度量衡）|融合数列递推与导数工具，体现数学抽象与模型意识，培养综合问题解决能力|

2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 2．如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 3．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 4．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 5．已知数列的前项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 8．已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时，或 B． C．当时，为等差数列 D． 10．已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线在处的切线，则______________． 13．已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 14．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 16．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 17．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 18．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， . 2．如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由图可知，切线过点，故切线斜率为， 所以切线的方程为， 所以当时，，即. 3．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 4．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 5．已知数列的前项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件分奇偶项讨论得，然后分组计算求和即可. 【详解】由题意得，当为奇数时，， 则为偶数，有，两式相减得； 当为偶数时，， 则为奇数，有，两式相加得； 所以，故D正确. 6．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值. 【详解】已知函数， 所以. 因为，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 所以在上为单调递增，在为单调递减， 故在上的最大值为. 7．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 8．已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，求函数最值即可. 【详解】当时，函数，因此不符合题意； 当，根据函数，即， 令函数，导函数， 令，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，即， 所以，即，因此函数在上单调递增. 因为，即， 所以在上恒成立， 所以，令函数， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时，或 B． C．当时，为等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，从而判断B；当时，由，可得或，从而判断A；根据等差数列的定义判断C；由基本不等式判断D. 【详解】公比为的等比数列的前项积为， 由，可得， 则，故B正确； 当时，， 所以，故或，故A正确； ， 当时，， 则不为常数，故不是等差数列，故C不正确； ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 10．已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】构造函数，结合单调性即可判断. 【详解】因为，所以. 故构造函数，.则， 所以在上单调递增.由，得， 由的单调性可得当时，.当时，. A选项：，解得，A错误； B选项：，解得，B正确； C选项：，解得，C正确； D选项：，解得，D正确. 故选：BCD. 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以， 所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增. 所以当时，取得最小值. 故A正确. 选项B，， 且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立， 所以. 故B正确. 选项C，因为， 当时，，，故， 所以函数在单调递增， ， 因为，时， 所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解. 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 13．已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 14．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当，的增区间是，减区间是；当， 增区间是，无减区间；当，的增区间是，减区间是 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数与单调性分类讨论求解即可. 【详解】（1）显然椭圆在点处的切线方程就是 函数图象在处的切线方程， 因为，所以切线斜率是 ， 所以切线方程是； （2）定义域为， 当，，在上单调递增； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 综上所述，当，的增区间是，减区间是； 当， 增区间是，无减区间； 当，的增区间是，减区间是. 16．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）数列的通项含，可分为奇偶两种情况确定的取值，结合是的前项和，奇偶项各占项，可求和得到的通项；数列给出了对任意正整数恒成立的指数等式，通过赋值可推导的通项形式，再验证该通项的唯一性. （2）由第一问所得，可知需删除中下标为的倍数的项，剩余项构成的新数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，可将前项和拆分为奇数项和与偶数项和两部分，分别用等比数列求和公式计算后合并. 【详解】（1）数列满足，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又数列满足， 所以 由题意知：又知数列中，，且对任意正整数，，． 令，对任意正整数均有，即， 经验证，当时，，，即恒成立， 故； （2）由题知将数列中的第项、第项、第项……删去后构成的新数列，其项依次为 观察可得，新数列的奇数项为，偶数项为 即新数列中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是，，公比均是， 记数列的前项和为， 所以 . 【点睛】方法归纳： 1. 通项含的数列问题优先采用奇偶分类讨论的思路处理，涉及对任意正整数成立的递推关系，可通过特殊值赋值法快速推导通项. 2. 等比数列删除下标成等差数列的项后，剩余的子数列可按位置奇偶性拆分为公比相同的两个等比数列，分别求和后合并即可得到总和. 17．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，， (2)当时，取到最小值，无最大值 【分析】（1）由题意写出数列和的通项公式，进而求出数列的前6项； （2）首先分组求和求出，然后利用确定单调性，确定的最值. 【详解】（1）等差数列的首项，公差为2， 等比数列的首项，公比为， 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 ，， 又数列满足（为正整数）， 所以，，，，，， 所以数列的前6项依次为，，，，7，. （2） ， ， ， ，则单调递增， 则当时，取到最小值，无最大值. 18．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入函数得到的解析式，再求函数的导函数；将代入和，求出切点坐标和切线斜率；利用点斜式求出切线方程； （2）将代入函数得到，；证明，即证明；分析时，不等式成立的情况；时，构造函数，利用导数分析在的单调性，通过单调性分析函数的最值大小来证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，； ； 当时，，； ，即. 函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，当时，. 要证明，即证明，； 当时，，，此时成立； 当时，令，则； 令，则； 在区间上单调递增，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，即； ，； 在上单调递增，即； ，，即； 在区间上单调递增，即； ，即； ，即； 综上所述，当时，. 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. （3）略 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $