专题01 导数 9大考点期末训练-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

专题01 导数 9大高频考点概览 考点01导数的概念与求导法则 考点02切线方程 考点03单调性 考点04极值、最值 考点05图像问题 考点06零点问题 考点07恒成立、存在问题 考点08综合问题 考点09证明类问题 地 城 考点01 导数的概念与求导法则 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东·期中）已知函数满足，则（   ） A．4 B．-4 C．-2 D．2 3．（25-26高二下·广东云浮·期中）如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 4．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 5．（25-26高二下·广东汕尾·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 2、 填空题 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________． 7．（25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 8．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 9．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在处可导，若，则__________. 10．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 地 城 考点02 切线方程 1、 单选题 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东韶关·期中）若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 6．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2、 填空题 7．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）过作函数的图像的切线，切线方程为__________. 8．（25-26高二上·北京·期中）若函数在处的切线与直线垂直，则________． 9．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 10．（2026·福建泉州·一模）若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 3、 解答题 11．（25-26高二下·广东江门·期中）函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 12．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数． (1)求函数的零点和极值； (2)设直线l为曲线在点处的切线，若l与曲线只有一个公共点，求a的值． 13．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)过点作曲线的切线，求此切线的方程． 14．（25-26高二上·广东河源·期末） （1）已知函数，求函数的单调区间. （2）设曲线，若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值 地 城 考点03 单调性 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   4．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 5．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 8．（25-26高二下·广东韶关·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 9．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 10．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 11．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 12．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 地 城 考点04 极值、最值 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．（25-26高二下·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 4．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北保定·期中）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 8．（25-26高二下·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 9．（25-26高二下·广东汕头·期中）设函数，则（    ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．曲线的对称中心的横坐标为定值 10．（25-26高二下·广东佛山·期中）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上有且仅有2个零点 C．在上单调递增 D．在上有极小值 11．（25-26高二下·广东汕尾·期中）函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在单调递减，在单调递增 B．若，则 C．若，则存在一个极值点 D．若，则恒成立 12．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的一个周期为 C．若在上单调递增，则的最大值为 D．的最大值为 3、 填空题 13．（2026·广东·模拟预测）函数的极小值为____________． 14．（25-26高二下·广东东莞·期中）设和是函数的两个极值点.若，则_____. 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 16．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 17．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 18．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 4、 解答题 19．（25-26高二下·广东广州·期中）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值点； (2)求出方程的解的个数． 20．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 21．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 22．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 地 城 考点05 图像问题 1、 单选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 2．（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 5．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 2、 多选题 8．（25-26高二下·广东韶关·期中）若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·广东茂名·期中）如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．函数有两个极值点 C．当时先减后增且恒为负 D． 10．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 11．（25-26高二下·广东湛江·期中）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 12．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数的极值点的个数为 B．函数在区间和单调递减 C．函数在区间和单调递减 D．当时，有最小值 13．（24-25高二下·广东江门·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．的极小值点为，； B．的极大值点为； C．在区间上单调递增； D．函数在上的极值点的个数为 地 城 考点06 零点问题 1、 单选题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林通化·阶段检测）已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2013·河北唐山·二模）函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 2、 填空题 11．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的极大值为，极小值为 B．有两个零点 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 12．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数不存在极值点 B．当时，函数有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若是函数的一条切线，则 13．（2026·广东广州·二模）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 14．（25-26高二下·广东云浮·期中）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，都有 15．（2026·广东惠州·二模）深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间上不单调 C．存在唯一极值点 D．恒成立 3、 解答题 16．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 17．（25-26高二下·广东汕尾·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数有且仅有两个零点． 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 地 城 考点07 恒成立、存在问题 1、 单选题 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二下·广东·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·山东青岛·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．（2025高三下·全国·专题练习）函数有个零点，则的取值范围是_____. 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 14．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 15．（25-26高二下·广东·期中）已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 16．（25-26高二下·广东广州·期中）若对于任意恒成立，则的取值范围是___________． 17．（25-26高二下·湖北恩施·阶段检测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 3、 解答题 18．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 20．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 21．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若有大于零的极值点，比较与的大小； (3)若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 地 城 考点08 综合问题 一、 多选题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．直线的方程为 C． D．对任意非负整数 2．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（    ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（） A．总有两个极值点 B．当时， C．是中心对称图形，其对称中心为 D．当时，有且仅有一个零点，且 4．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知，则下列说法正确的有（   ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值点为 D．若关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是 5．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（   ） A．在区间上递减 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．已知的两个极值点为，，方程的解为，，则 6．（2026·云南昭通·二模）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 7．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 8．（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．在上单调递增 C．对任意的，有 D．对任意的，，则 9．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的极小值点为 B． C．若函数有4个零点，则 D．若，（），则 10．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B． C． D．存在实数，使得 地 城 考点09 证明类问题 一、 解答题 1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 2．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，其中． (1)若有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，其中． (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：． 4．（2026·广东·模拟预测）已知函数，． (1)时，恒成立，求a的取值范围； (2)若曲线与椭圆交于不同两点A，B，记直线的斜率为k，证明：． 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若恒成立，且在处取等号，试证明； (3)证明：． 6．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 7．（2026·广东广州·三模）定义函数，且． (1)直接写出的值，以及当时，求； (2)对于每一个，证明：在区间内有唯一解； (3)已知在区间上存在，，使得，证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数 9大高频考点概览 考点01导数的概念与求导法则 考点02切线方程 考点03单调性 考点04极值、最值 考点05图像问题 考点06零点问题 考点07恒成立、存在问题 考点08综合问题 考点09证明类问题 地 城 考点01 导数的概念与求导法则 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数， 则. 2．（25-26高二下·广东·期中）已知函数满足，则（   ） A．4 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】.故选：B. 3．（25-26高二下·广东云浮·期中）如图，已知函数的图象在点处的切线，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由图可知，切线过点，故切线斜率为， 所以切线的方程为， 所以当时，，即. 4．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 5．（25-26高二下·广东汕尾·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 【答案】C 【详解】根据平均变化率公式可得：． 2、 填空题 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________． 【答案】4 【详解】，求导可得， 曲线在处的切线的斜率为． 7．（25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 【答案】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 【答案】/ 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 9．（24-25高二下·山东·期中）已知函数在处可导，若，则__________. 【答案】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 【答案】或 【详解】，，故， 所以点的坐标为或 地 城 考点02 切线方程 1、 单选题 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】由，则，即， 则曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 则，解得. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 4．（25-26高二下·广东韶关·期中）若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设，则，则. 所以曲线在点处的切线方程为，即． 由得，则，解得（舍去）或． 5．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 6．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 2、 填空题 7．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）过作函数的图像的切线，切线方程为__________. 【答案】 【分析】设切点为，求得切线方程为，由切线过点，代入求得的值，进而得到切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，解得， 所以过点的切线方程为. 8．（25-26高二上·北京·期中）若函数在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】0 【分析】对函数求导，结合垂直关系有，即可求. 【详解】由题设，又在处的切线与直线垂直， 所以切线斜率为2，则，可得. 9．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 10．（2026·福建泉州·一模）若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点的切线方程为即，再根据直线与圆的位置关系得圆心到切线的距离，化简为，设，换元得一元二次方程，由根与系数的关系求解. 【详解】由于，则, 则曲线在点的切线方程为, 即， 又因为此切线也为圆的切线， 则圆心到切线的距离, 两边平方，化简为, 设，则，即, 因为存在4条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时有4个解， 则，解得， 所以的取值范围是. 3、 解答题 11．（25-26高二下·广东江门·期中）函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用与在处的导数值相等求出. （2）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. 【详解】（1）由，求导得，由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，而，则，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （2）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 12．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数． (1)求函数的零点和极值； (2)设直线l为曲线在点处的切线，若l与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】(1)极大值为0，无极小值，只有一个零点． (2)或． 【分析】（1）利用导数判断单调性求极值，再结合极值与函数符号确定零点； （2）由导数几何意义求切线方程，与曲线方程联立，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）的定义域为， 令=0，解得． 令，解得，函数在上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 当时，的极大值为，无极小值，所以函数只有一个零点． （2）的导数为， 曲线在处的切线l的斜率为， 则曲线在处的切线l的方程为，即． 由于切线l与曲线只有一个公共点， 将与联立， 得①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意； 当时，则，即，解得， 综上，或． 13．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】(1)的最小值是，的最大值是 (2)或． 【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果. （2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果. 【详解】（1），， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减， 而，，， 的最小值是，的最大值是 （2），设切点坐标为， 则切线方程为， ∵切线过点，∴， 化简得，∴或． ∴切线的方程为或． 14．（25-26高二上·广东河源·期末）（1）已知函数，求函数的单调区间. （2）设曲线，若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）. 【分析】（1）求导，根据导数符号即可求得单调区间； （2）求导，根据直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】（1），则或， ，则. 故函数单调增区间为 和 ，单调减区间为. （2）由可得. 所以在点处的切线斜率为. 又因为切线与直线垂直，所以； 因此. 地 城 考点03 单调性 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 3．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 4．（25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 5．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，判定各数值的大小. 【详解】由题可知， 设函数，则， 在上，即函数在单调递减， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 设函数，则， 在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 综上所述，可知. 6．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 2、 填空题 7．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出在上恒成立，然后结合导数转化为恒成立问题，即可得到结果. 【详解】由题意，函数在上单调递增，所以在上恒成立， 因为，要使对任意恒成立，则对任意恒成立， 记，易知在上为减函数，所以，因此， 综上，实数的取值范围是． 8．（25-26高二下·广东韶关·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得，即，解得， 所以的取值范围是． 9．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，则问题可转化成函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得结果. 【详解】，令， 函数 有两个零点等价于函数与函数的图象有两个交点， ，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增， 所以，，，如图所示，所以实数的取值范围是. 10．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 11．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 【答案】 【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案. 【详解】因为，构造函数， 因为，所以函数是增函数， 因为，所以， 因为，所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为. 12．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 得，， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 地 城 考点04 极值、最值 1、 单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 令，得，解得. 因为为增函数， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 2．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 3．（25-26高二下·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】C 【详解】函数的导数，令，解得， 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故函数的极小值点为. 4．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】函数在处取得极大值， 则，所以， 解得或， 当时，， 所以当时，当时，， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 所以当时，，当时， 所以在处取得极大值， 所以. 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 6．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 7．（25-26高二下·河北保定·期中）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则在内恒成立， 可知在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为. 2、 多选题 8．（25-26高二下·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心. 【详解】对于A：因为， 由，得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 对于B：因为当时，单调递增， 而当时，，所以，故B错误； 对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误； 对于D：因为，即， 所以点为函数的对称中心，故D正确. 9．（25-26高二下·广东汕头·期中）设函数，则（    ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．曲线的对称中心的横坐标为定值 【答案】BD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，再求得极大值即可判断；对于B，由恒成立即可判断；对于C，由解集能否为即可判断；对于D，求出图象的对称中心即可判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或， 由，得或，由，得， 于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为，故A错误； 对于B，， 当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，故C错误； 对于D，由， 得曲线的对称中心的坐标为，故D正确 10．（25-26高二下·广东佛山·期中）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上有且仅有2个零点 C．在上单调递增 D．在上有极小值 【答案】ABD 【分析】通过求导代值判断A项；利用函数的零点定义解方程判断B项，利用求导判断函数的单调性即得函数的极值点，分别判断C，D两项即得. 【详解】由求导得. 对于A，，则A正确； 对于B，当时，由可得或，故B正确； 对于C，设，则， 因，则，则，故在上单调递减， 而，故存在，使得， 当时，，即；当时，，即， 故函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上有极小值，故D正确. 11．（25-26高二下·广东汕尾·期中）函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在单调递减，在单调递增 B．若，则 C．若，则存在一个极值点 D．若，则恒成立 【答案】ACD 【详解】，求导可得， 令，求导可得． 选项A：当时，，所以函数在单调递增， 因为， 所以当时，，则，函数在单调递减， 当时，，则，函数在单调递增； 选项B：当时，要证，即证， 当时，，而，此时不成立； 选项C：当时，因为，所以，在上单调递增， 因为，，所以存在，使得， 当时，则，函数在单调递减， 当时，则，函数在单调递增， 所以是函数的极小值点，因此存在一个极小值点； 选项D：当时，，故， 由选项C可知，当时，在处取得极小值， 其中满足，即， 则， 因为，所以，，故， 因此恒成立，故当时，恒成立． 12．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的一个周期为 C．若在上单调递增，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】通过化简函数、利用奇偶性和周期定义、并求导分析函数的单调区间与极值依次验证选项即可. 【详解】对于A，， 故为奇函数，A正确； 对于B，因，，即，故B错误； 对于C，由题意得， 令，解得，即 ， 该区间长度为，故的最大值为，C正确； 对于D，令，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为的周期为，的周期为，故的周期为， 当时，从1降到，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，从升到，此时单调递增， 所以，故D正确. 3、 填空题 13．（2026·广东·模拟预测）函数的极小值为____________． 【答案】 【分析】求导得，令，结合的单调性可求函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 所以， 令， 因为， 所以为单调递增函数，为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 又 ， 当时，，所以， 当时，，， 所以函数在处取得极小值，极小值为. 14．（25-26高二下·广东东莞·期中）设和是函数的两个极值点.若，则_____. 【答案】3 【分析】求导，由题意和是方程的两根，结合已知条件与韦达定理即可求出结果. 【详解】函数， ， 又和是函数的两个极值点， 则和是方程的两根， 故，， 又，则， 即，则，经检验判别式大于0. 故. 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 16．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 17．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 18．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】函数，求导得， 令，解得， ，解得或， 在和上单调递减，在上单调递增， 在上存在最大值的条件为，解得． 4、 解答题 19．（25-26高二下·广东广州·期中）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值点； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点. (2)当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可. （2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 令，解得； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点. 综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点. （2）方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数. 由（1）知，. 当时，；当时，. 函数的简图如下： 结合图象可知，当时，的图像与直线无交点； 当或时，的图像与直线有1个交点； 当时，的图像与直线有2个交点； 综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 20．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 21．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ，求导可得 ， 当时， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）由（1）可知，， 设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根， 设为的两个极值点，即方程的两个正实数根， 所以，解得，即实数的取值范围为. 22．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 地 城 考点05 图像问题 1、 单选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，函数单调递增，所以图象上每个点的导数都大于0，又函数在某点的导数的几何意义等于该点切线的斜率，从图象可得该函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐增大的，因此函数的切线斜率是递增的，. 4．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 【答案】D 【分析】分析出的正负，进而得出的单调区间和极值即可求解． 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 5．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若是的图象，是的图象， 当时，单调递减，对应在轴下方）； 当时，单调递增，对应（在轴上方），符合规律，故A正确. 对于B，若是的图象，是的图象， 恒成立，对应单调递增，故B正确. 对于C，若是的图象，是的图象， 则恒成立，且单调递增，对应单调递增，且斜率越来越大（越来越陡），完全符合的趋势，故C正确. 对于D，图中恒在轴上方，恒在轴下方，两曲线的单调性都是先增､再减､再增， 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递增，显然不符合； 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递减，也不符合，故D错误． 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】C 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 2、 多选题 8．（25-26高二下·广东韶关·期中）若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为是的极大值点，则，由图知，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以B正确， 对于C，当时，，当时，， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以C正确， 对于D，当时，，当时，，为的极小值点，所以D错误． 9．（25-26高二下·广东茂名·期中）如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．函数有两个极值点 C．当时先减后增且恒为负 D． 【答案】ACD 【分析】构造，利用导数去确定的单调区间，再判断每个选项的正确性. 【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解. 令，则，令，. 极大值 又，，的取值范围，A选项正确. ，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误. 由，得. 当，，单调递减；时，，单调递增. 是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确. 在递增，在递减，，又. ，，同理，. ，D正确. 10．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 【答案】AC 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】对于AC，根据导函数图像可知当时，； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减； 在上单调递增，故是极值点，故A、C正确； 对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误； 对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误； 11．（25-26高二下·广东湛江·期中）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 【答案】ACD 【详解】根据导函数的图象可知，的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值； 的两侧的小区域内，左增右减，所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知B错误，ACD正确. 12．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数的极值点的个数为 B．函数在区间和单调递减 C．函数在区间和单调递减 D．当时，有最小值 【答案】AC 【分析】由导函数的正负与函数之间的关系可知，函数的单调性及极值，分析判断各个选项即可. 【详解】由导函数的正负与函数之间的关系可知， 和单调递增，和单调递减，故B选项错误，C选项正确； 由的图象可知，，，是函数的极值点，所以函数的极值点的个数为3，故A选项正确； 当时，单调递减，单调递增， 当时，有极小值， 单调递增，单调递减，但是不确定是最小值，故D选项错误. 故选：AC. 13．（24-25高二下·广东江门·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．的极小值点为，； B．的极大值点为； C．在区间上单调递增； D．函数在上的极值点的个数为 【答案】BD 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值点，即可求解. 【详解】由图可知，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以函数在上的极值点的个数为，极小值点为，极大值点为， 所以选项A和C错误，选项B和D正确. 故选：BD. 地 城 考点06 零点问题 1、 单选题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的单调性，得到，根据条件得到，利用的零点为，得到，令，得到，构造函数，从而将问题转化成求出的值域，即可求解. 【详解】因为恒成立，所以在上单调递增，又，则， 由，得到，所以， 又的零点为，则，得到， 令，则，令，则， 当时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，则， 所以实数的取值范围是. 3．（23-24高二下·吉林通化·阶段检测）已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 4．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，且当时，；当时，， 画出函数与的图像，如图所示， 结合图像，可得，所以实数的取值范围为. 故选：C.    5．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 8．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 【答案】D 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则，， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 10．（2013·河北唐山·二模）函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 2、 填空题 11．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的极大值为，极小值为 B．有两个零点 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】先对函数求导，得到，通过分析导数的正负确定函数的单调区间与极值，再根据极值符号判断零点个数，最后利用导数的几何意义计算点处的切线方程，即可逐一验证选项． 【详解】，， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 对于A，当时，取极大值， 当时，取极小值，A正确； 对于BC， 如图，在和上单调递增，在上单调递减，且，， 所以函数在，，各自有一个零点，分别为，共3个，B错误，C正确； 对于D，，，所以切线方程为，即， D正确． 12．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数不存在极值点 B．当时，函数有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若是函数的一条切线，则 【答案】ACD 【详解】 对于A，当时，可知均在上单调递增， 则在上单调递增，所以不存在极值点，A正确； 对于B，当时，，求导得， 令得或，又当时， 当时，所以分别为极大和极小值点， 且，， ，所以只有两个零点，B错误； 对于C，因为， 所以点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，设与的切点坐标为，因为， 所以在处的切线方程为， 即，依题意有，得，D正确. 13．（2026·广东广州·二模）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 【答案】BCD 【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定，进而得到，结合最值即可判断；对于D，对求导，利用导数确定单调性即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即， 令，， 当时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因， 则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 14．（25-26高二下·广东云浮·期中）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，都有 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； 因为，所以当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确. 15．（2026·广东惠州·二模）深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间上不单调 C．存在唯一极值点 D．恒成立 【答案】ACD 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 3、 解答题 16．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在单调递减，无增区间；当时，在单调递减，在单调递增． (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用导数可证故恒成立即； （2）就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （3）根据（2）中的单调性结合零点存在定理可证明在定义域上有两个零点 【详解】（1）设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故恒成立即. （2）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可得，当时，， 因为均在上为增函数，故在上为增函数， 故，故. 当时，即， 结合（1）中不等式可得，故， 当时，，且， 而，，故， 由零点存在定理可得在上有两个零点． 17．（25-26高二下·广东汕尾·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）将问题转化为在上有解问题，再求解即可； （3）根据导数求得单调性，结合零点存在性定理即可证明． 【详解】（1）当时，，则， 所以，所以切线方程为，即． （2）由题意得， 若函数存在单调递减区间，则在上有解， 所以在上有解， 因为函数在上单调递减， 所以，故． （3）由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)① ；②答案见解析 【分析】（1）利用导数来求切线斜率，再利用题意得方程组求解即可； （2）①利用分类讨论思想，结合导数的正负来判断单调性，即可得极值点是否满足题意；②利用分类讨论思想，结合零点存在性定理可判断零点个数. 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， 由切点在直线上得，， 因为，所以切线斜率为，可得, 代入可得: ,则可解得； （2）①由，，求导可得：， 当时，，时，；时，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，，所以在上单调递增；不符合题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增 所以是函数的极大值点，满足题意． 综上：实数的取值范围为． ②由， 根据①可知，在上递增；在上递减，在上递增， 则， 由，令， 则， 当，即时，，则在上无零点， 又时，，则在上无零点，故此时零点个数为0； 当，即时，同理只有，即零点个数为1； 当，即时，，，使得， 即零点个数为2， 综上：时，无零点；时，有1个零点；时，有2个零点． 地 城 考点07 恒成立、存在问题 1、 单选题 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】将不动点问题转化为方程的解的个数，构造函数， 分析其零点个数，通过求导研究的单调性和极值，结合极限判断零点存在性. 【详解】令，则，易知不是该方程的根， 故设，则. 由或；由. 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，所以. 又，所以函数仅在上有1个零点，即的不动点个数为1， 故选：D 3．（24-25高二下·广东·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，令，分离变量得到，则，由此可得答案. 【详解】由题意可得， 令，即，则， 而当时，，则，故． 故选：A． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 5．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 6．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性定义，将问题转化为在上单调递增，由此可知在恒成立，采用分离变量的方法可求得结果. 【详解】当时，由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即，实数的取值范围为. 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 8．（25-26高二下·广东·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，单调递增，至多有一个零点，不满足题意；当时，根据导数与单调性及最值的关系，结合零点存在定理及函数有两个零点，得到，解不等式即可. 【详解】当时，因为函数和函数都为增函数， 所以函数单调递增，至多有一个零点，不满足题意； 当时，，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，；当时，， 要使函数有两个零点，则， 解得，即的取值范围是． 9．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 10．（25-26高二下·山东青岛·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，按分类讨论，确定函数的最小值并建立的关系，再构造函数并利用导数求出最大值. 【详解】当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意； 当时，函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，不合题意； 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以的最大值为. 2、 填空题 11．（2025高三下·全国·专题练习）函数有个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将函数有两个零点转化为两个函数与的图象有两个交点的问题，再利用导数求出两函数图象相切时的值，进而确定的取值范围. 【详解】解析：函数的零点，即为关于的方程的实根， 将方程化为方程，令，， 由导数知识可知，直线与曲线相切时有， 所以关于的方程有两个不同的实根， 实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意，分离参数得，令，，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】由条件，可得，令，， 则， 故在单调上递增，即的最小值为，则. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解． 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立， 取，所以，显然递增，即， 所以在单调递增，所以， 所以， 故答案为：． 14．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 15．（25-26高二下·广东·期中）已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 【答案】 【分析】由题意可知直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】根据题目可知有两个零点， 令，可得，故直线与函数的图象有两个不同的交点， 函数的定义域是， 求导可得， 令，可得， 当变化时，，的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 因此函数的增区间是，减区间是，极大值是， 根据对数函数的性质可知，当时，，当时，，当时， 由此画出函数和直线的图象， 根据图象可知，当时，直线与函数有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 16．（25-26高二下·广东广州·期中）若对于任意恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对不等式进行化简得，证明，从而得到的最小值为，即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 因为，所以， 所以， 又，所以， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，，， 所以，使得，即在上有解， 所以，即的取值范围是. 17．（25-26高二下·湖北恩施·阶段检测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 3、 解答题 18．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 19．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【详解】（1）由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. （2）证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 20．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 21．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义以及点斜式方程求解； （2）求出在上的最大值，将恒成立转化为，解不等式，求出的取值范围 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）， 所以当时，，当时，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以在上的最大值为， 对任意，恒成立等价于， 即，解得或，所以的取值范围为. 22．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若有大于零的极值点，比较与的大小； (3)若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由，再参变分离得，令，再利用导数分析函数单调性得到图象，从而确定的取值范围； （2）根据导数确定函数的极值点，利用隐零点可得，令，再利用导数确定的最值即可； （3）易知时不等式不成立；当时，，当时，，根据图象，结合有且只有唯一整数，使，确定的取值范围． 【详解】（1）由 可得： ， 所以不是的零点，则令 ， 分离参变量可得，构造函数，则， 当时， ，则在上单调递增， 当或时， ， 则在，上单调递减， 当时， ，则在上单调递增， 根据单调性和极值点作出函数图象： 所以要满足方程有两个解，则 ； （2）求导得：，设为的导数， 则 ， 当时， ，所以在上单调递增， 要使得有大于零的极值点，则方程 在上有解， 即当， 在上必存在唯一正根， 满足 ，且为函数的极小值， 则 令 ，求导得： ， 当时， ， 则 在上单调递增， 当时， ， 则 在上单调递减， 所以 ，即 . （3），当时，不等式显然不成立； 当时，由得，，根据图象： 因为，且， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 当时，由得，，根据图象： 因为，， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 综上所述，的取值范围为． 地 城 考点08 综合问题 一、 多选题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．直线的方程为 C． D．对任意非负整数 【答案】ACD 【分析】根据题意，，，可判断AC；由切线方程判断B；由于，令利用导数求最值. 【详解】A：函数，， 由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为， 令，即可得、， ，故A正确； B：的方程为， 代入整理得到，故B错误； C：由牛顿迭代法公式，得， 或通过将代入切线方程中，整理得C正确； D：对任意非负整数， 作以及切线的图象可知对任意正整数， 故对任意非负整数， 令， 故， 从而，当且仅当时等号成立，故D正确. 2．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（    ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于B：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于CD：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性比较大小. 【详解】对于选项A：设， 因为，则， 可知在上为增函数，且， 不等式等价于， 即，可得， 所以的解集为，故A正确； 对于选项B：设，则， 因为，则，可知在上为增函数， 又因为，则， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项CD：因为，则， 因为，则， 可知在上为增函数，故C错误； 可得，即， 所以，故D正确． 3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（） A．总有两个极值点 B．当时， C．是中心对称图形，其对称中心为 D．当时，有且仅有一个零点，且 【答案】ACD 【分析】对于选项A：先求的导数，再分析的实根个数，进而得到函数极值点个数；对于选项B：因为比较和的大小，可先判断函数在区间上的单调性，所以先求导数，分析当时在该区间的符号，进而确定单调性，再根据单调性比较函数值大小；对于选项C：可利用关于对称的函数的性质，代入假设的对称中心坐标，验证是否对任意都成立即可；对于选项D：因为判断函数零点个数，可先分析函数的单调性和极值情况，所以先求导数，确定当时的极值点，计算极值，结合函数在时的趋势，判断零点即可. 【详解】A选项，求导：， 因为，所以为二次函数，且， 故导函数有两个变号的零点，所以总有两个极值点，故A正确； B选项，， 由得：，， 所以， 所以区间完全落在负半轴，且位于的右侧， 对于区间内的任意： ，又因为，所以， 故，又因为， 所以， 故在区间上单调递增， 因为，所以， 因此原选项中的不等式不成立，故B错误； C选项， ， ， 故， 故是中心对称图形，且其对称中心为，故C正确； 选项D，当时，，两个极值点为和， 的单调性为：当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 计算两个极值点的函数值： ，，因为， 所以，， 当时，的最小值大于0，因此无零点； 当时，单调递增，， 当时， 由零点存在定理，在有且仅有一个零点，即唯一零点，故D正确. 4．（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知，则下列说法正确的有（   ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值点为 D．若关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据零点的定义判断A，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断其余选项. 【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，A对； 由题可知： 设，，则， 由得：；由得：； 故在上单调递增﹐在上单调递减， 作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下： 观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错， 函数在时有极大值，极大值点为1，C错， 方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对， 5．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（   ） A．在区间上递减 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．已知的两个极值点为，，方程的解为，，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调递减区间；对于B，利用导数求出函数的极值，结合单调性和零点存在定理进行判断；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D，假设，求出，并验证. 【详解】对于A，，令，解得， 所以在区间上递减，故A正确； 对于B，由A可知在区间上递减， 当或时， 所以在区间和上递增， 所以当时，取得极大值，为， 当时，取得极小值，为， 又当时，，当时，， 所以在内有一个零点，在内无零点， 所以有一个零点，B错误； 对于C，，所以， 所以点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，由B选项和已知条件可知和， 又在上单调递增，所以在内存在唯一的使得， 假设成立，则， 而， 所以成立，故D正确. 6．（2026·云南昭通·二模）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A：直接代入求解即可；对于B：利用导数分析得单调性，进而可得极值点；对于C：利用导数分析的单调性，进而可得零点；对于D：令，构造，利用导数可证，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或. 对于选项A：若，解得，故A正确； 对于选项B：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误； 对于选项C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； 对于选项D：若，令， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即，可得，整理可得，故D正确. 7．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 【答案】BC 【分析】对于A，求，，利用点斜式求切线方程，判断A，对于B，根据幂函数的单调性判断结论，对于C，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数即可判断，对于D，利用导数判断函数的单调性，结合极大值定义求极大值即可判断. 【详解】对于A，， 当时，，， 切线斜率，又切线过点， 故曲线在点处的切线方程为，即，A错误， 对于B，，函数为增函数， ，都有，故，B正确， 对于C，， 当时，，， 函数在上单调递增，又，， 所以在上有一个零点， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点， 所以时，函数有三个零点，C正确， 对于D，， 当时，， 函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，函数在上没有极值， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，函数取极大值，极大值为，D错误. 8．（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．在上单调递增 C．对任意的，有 D．对任意的，，则 【答案】BCD 【分析】利用导数，结合切线、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.由题意可知：，，则， 则曲线在处的切线方程为.故A错误； B.由题可知，时有恒成立，所以在上单调递增，故B正确； C.令，则 ， 则在上单调递增， 则 ，则 ， 所以，故C正确； D.易知. 令，则， 令， 则， 则在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 令，则， 令，则 ， 则在上单调递增﹐则 ，则， 则在上单调递增，则，故D正确. 9．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的极小值点为 B． C．若函数有4个零点，则 D．若，（），则 【答案】ABC 【分析】求导，利用导数判断的单调性，可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，函数和有2个交点，结合图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】对于A，的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以，当且仅当时成立， 所以，又在上单调递减， 所以，B正确； 对于C，令，则， 若函数有4个零点，则函数和有4个交点， 又的定义域为，且， 所以是偶函数，图像关于轴对称，当时，， 所以原题意等价于当时，函数和有2个交点， 由A选项可知：当时，，图像如图所示： 所以，C正确； 对于D，设， 则， 所以当时，，单调递增， 则，即， 若，（），不妨设， 则，且，在上单调递增， 所以，即，故D错误. 10．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B． C． D．存在实数，使得 【答案】ABC 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质求解；C选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； D选项，利用为极小值点，通过证明； 【详解】对于A，，令，则， 令，则，设， 由对勾函数的图象可知：当时，因为，所以与的图象有两个交点，故A正确； 对于B，设，则①， 设为①式的两根，则，即②，③. 由③式可知，故B正确； 对于C，由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故C正确. 对于D，，，，可得为区间的极小值点， 则必有，故D错误； 地 城 考点09 证明类问题 一、 解答题 1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. （3）略 2．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，其中． (1)若有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)证明：令，则． 由（1）知，且． 令，则． 要证明，只需证明． 令 则. 整理得. 从而. 先证明：当时，． 令，， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以， 因此在时恒成立. 因为，所以分别取与，得， 由，两边取倒数，得， 由，两边取倒数，得. 两式相加，得. 因此，通分得， 所以在上单调递增． 又，故， 又因为所以 由（1）知在上单调递增，因此 所以 【分析】（1）求导后令．先研究的单调性与最小值，再把“有两个极值点”转化为方程有两个不同实根． （2）设，将结论转化为证明．构造，通过不等式证明，从而比较与的大小，再利用在正半轴上的单调性得到结论． 【详解】（1）函数的定义域为． 由，得. 令. 则． 又. 当时，，且，所以. 从而，故在上单调递减． 当时，和 均为增函数， 从而，故在上单调递增． 又，并且当或时，均有，所以在处取得最小值． 方程等价于方程． 当时，方程在和内各有一个实根． 此时的符号依次为正、负、正，所以有两个极值点． 当时，方程只有一个实根，且，在的两侧不变号，所以不是极值点． 当时，方程无实根，函数没有极值点． 综上，实数的取值范围为. （2）略. 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，其中． (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：． 【答案】(1) 的单调递减区间为 ，无单调递增区间； (2)证明：（i）由 (1) 知 ，令 ，则 , , ，故 在 上单调递增, 当 时，，且 时 ，因此存在唯一的 ，使得 ，即 , 由此可知：当 时，，故 ， 单调递增； 当 时，，故 ， 单调递减, 因此， 是 在 内的唯一极值点（极大值点），且 ， 令 ，当 时，，故 在 上单调递减，因此 ，即, 取 ,代入 得, 由 ，结合 ，得 ， ， 因，，且 在 上单调递减，由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 , 又 ，但 不在 内，故 在 内有且仅有 1 个零点; （ii）由题意， 是极值点，故 ，即, 是零点（），故 ，即, 将 代入上式，整理得,即（*）, 当 时，由 (i) 中结论 ，得 , 结合（*），可得， 因 ，故 ，则可得 ，即， 两边取自然对数，整理得 故要证 ，只需证 ，即证,也即， 由（i）中结论，当 时， 恒成立， 故, 又因为，可得,证毕. 【分析】（1）利用导数讨论函数在参数时的单调性； （2）（i）通过 的单调性和零点存在定理进行证明；（ii）利用极值点、零点两个等式结合对数常用不等式，做两次连续放缩，通过中间式子搭桥，完成不等式传递证明. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， ， 当 时，因，则 ， ，即 恒成立， 所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2）（i）略; （ii）略. 4．（2026·广东·模拟预测）已知函数，． (1)时，恒成立，求a的取值范围； (2)若曲线与椭圆交于不同两点A，B，记直线的斜率为k，证明：． 【答案】(1) (2)设，，，中点 则 两式相减： 整理得 直线的斜率，代入上式得 又，故即 由（1）的结论，取，则时，则 结合，，故 两边除以得，即 又，所以，即 易知在椭圆内，则 所以 所以 解得 所以 【分析】（1）先求导，对导数分子对称轴和1的关系分类讨论，分情况计算即可； （2）设中点，通过代入化简得到和的关系，再根据在椭圆内列方程求解即可. 【详解】（1） 令，对称轴为. 当，即时，在单调递增，故. ，故，，在单调递增，，满足条件. 当时，，存在，使得时，即，在单调递减，故，不满足条件. 综上，的取值范围是. （2）略 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若恒成立，且在处取等号，试证明； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）曲线在点处的切线方程为可知，切线斜率为0，切点为,再通过求导，计算出，的值； （2）先对使恒成立中的值进行讨论得到，再通过分离变量转化为证明，再构造函数，由题意可知，通过函数单调性证明为的最大值点，再通过函数单调性证明. （3）先证明当时， 进而得到 ， 再由得，即，最后利用不等式累加证得不等式. 【详解】（1）若曲线在点处的切线方程为，则 由可得 . （2）恒成立即恒成立，那么， 由， 可得，由可得 即证,设，则 由题意可知, 设，由于，故的符号与一致， 则， 所以，单调递减， 又因为, 所以 存在，使, 在上，；在上， 即,在上成立，在上成立， 处取最大值， 即，所以，. （3）设， 那么 ，故函数在上单调递增， 所以，即，， 由 令得 ，即， 那么 累加，得 ， 即 , 故，证毕. 6．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，利用导数求出函数的最小值即可证明； （2）令，根据单调性的定义得到在上单调递增，分离参数，求出导函数在上的最大值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， （2）因为， 所以， 令， 所以对任意的，，都有恒成立等价于在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 又当时，的最大值为， 所以. 7．（2026·广东广州·三模）定义函数，且． (1)直接写出的值，以及当时，求； (2)对于每一个，证明：在区间内有唯一解； (3)已知在区间上存在，，使得，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令得；对写出 与 ，作差消去前项，得； （2）设 ，计算得 ， ；求导得 ，故单调递增，存在唯一零点； （3）利用的关系，推导差值为正得​；再代入比较函数值得. 【详解】（1）已知， 当时，，由条件，故 . 时，， ， 两式相减得， 即. （2）设 ， ， ， 因为 ， 所以 ． 则在上单调递增， 所以在区间内有唯一解. （3）先证： ， 又由（2）知在上单调递增，所以成立； 再证： 因为是关于的递减数列，故， 所以 . 又在上单调递增，所以成立． 综上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $