26.2.2.1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，课堂导入先复习y=ax²的开口方向、对称轴、顶点等性质，再通过探究活动引导学生列表描点画出y=1/2x²+2和y=1/2x²-2的图象，建立与y=ax²的平移联系，形成从已知到未知的学习支架。 其亮点是以探究活动为核心，通过动手画图培养几何直观（数学眼光），对比分析归纳平移规律“上加下减”发展推理意识（数学思维），用表格和结论清晰呈现性质体现数学语言。例如让学生自主发现抛物线平移关系，学生能直观理解性质，教师可借助结构化内容提升教学效率。

二次函数y=ax²+k的图象和性质 R·九年级上册 1 学习目标 1.会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象. 2.能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系. 3.能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点. 复习回顾 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴 顶点 增减性 开口大小 向上 向下 y轴 y轴 （0，0）最低点 （0，0）最高点 当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小. ∣a∣越大，开口越小 y x 这个函数的图象是如何画出来的? O 探索新知 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2+2，y=x2 -2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线y=x2+2，y=x2 -2与抛物线y=x2有什么关系？ 探 究 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 先列表，描点、连线，画出这两个函数的图象. y =x2+2 y = x2 -2 思考：抛物线y=x2+2, y= x2 -2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2+2 y= x2 -2 向上 向上 y轴 y轴 （0,2） （0,-2） y =x2+2 y = x2 -2 (2) 抛物线y=x2+2, y= x2 -2与抛物线y= x2有什么关系？ 探 究 y = x2 y= x2 向上平移 2个单位 向下平移 2个单位 ①开口方向和大小相同； ②对称轴相同； ③顶点纵坐标不同. 思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： （1）y=- x2 （2）y=- x2-2 （3）y=- x2+2 根据图象回答下列问题： (1)图象的形状都是________； (2)三条抛物线的开口方向______； (3)对称轴都是______； (4)从上而下顶点坐标分别是________________________； 抛物线 向下 y轴 (0,2)，(0,0)，(0,-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____、____、____； (6)函数的增减性都相同： _________________________； _________________________. 高 大 y=2 y=0 y=-2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 上下平移规律：上加下减常数项. 点击打开几何画板 归纳小结 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 练一练 1.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是（ ） A.图象的开口向下 B.当x<－1时，y随x的增大而减小 C.图象的对称轴是直线x=2 D.当x=0时，y有最大值3 B 2.关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1,下列说法正确的是（ ） A.开口方向相同 B.顶点相同 C.对称轴相同 D.当x>0时，y随x的增大而增大 C 3.二次函数y=-3x2＋1的图象是将（ ） A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到 D 练习 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2， y=x2+1， y=x2-1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 【教材P38练习】 y=x2 y=x2+1 y=x2-1 随堂练习 1.抛物线y=2x2＋3可以由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到. 2.抛物线y=- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2. 3.抛物线y=-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 （0，-5） 4.已知点(m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k ____. 在 =2 >2 <2 6.已知抛物线y=ax2+k. (1)若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是________. (2)若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=____，k=____. (3)若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5)，则该抛物线的函数表达式是_________；将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_________. y=-2x2-3 -0.5 -3 y=x2+4 y=x2+1 7.如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标. 解：抛物线y=x2-4，当y=0时，x=±2， 即A点的坐标为(-2,0)，B点的坐标为(2,0). ∴AB=4. ∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b， ∴×4｜b｜=4. ∴｜b｜=2. 即b=±2. 当b=2时，x2-4=2，解得x= . 当b=-2时，x2-4=-2，解得x= . ∴P点坐标为(, 2)，(-, 2)，(, -2)，(-, -2). 课堂小结 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $