河南新乡市部分学校2025-2026学年高二下学期6月联考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设复数，其共轭复数为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知a、，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动．连接，，，与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，．当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（ ） A． B． C． D．先，再，最后 4．我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：（，），，分别为左、右焦点，过且倾斜角为的直线l与C在第一象限的交点为P，的平分线与线段交于点Q．若，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．设随机变量X的分布列为，，且，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，总存在唯一实数，使得，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列选项中说法正确的是（ ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数a的取值范围是 10．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ） A． B．三棱柱外接球的半径为 C．若交于M，则M为中点 D．将三棱柱分成两部分，体积较大部分的体积为 11．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线（）与曲线（）相切，则切点的横坐标为__________． 13．若，，则__________． 14．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差． （1）求； （2）求随机变量X的分布列和数学期望． 16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线的同侧，，，若，，求的面积． 17．（15分）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，D为中点． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点M，使二面角为，若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知抛物线C：（）与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为M，N，且． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l与抛物线C交于，两点，O为坐标原点，F为C的焦点． （ⅰ）若，且的中点为Q，求Q到y轴距离的最小值； （ⅱ）若已知直线l：（），且，设数列的前n项和为，证明：． 19．（17分）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）证明：，； （3）设，若存在，使得，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案 1．A 2．A 3．A 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．BCD 10．BD 11．BCD 12．/ 13． 14．210 15．（1）（2）分布列见解析，． 【详解】（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6， 另一个为2或3或4或5，可得； （2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，有，，， 随机变量X的分布列为： X 2 3 4 5 P 则． 16．（1）（2） 【详解】（1）解：因为，所以，，，因为，所以，所以，即，又，则有，所以． （2）解：因为，，，所以在中，，所以，即，因为在中，，所以，因为，所以，所以，所以． 17．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析． 【详解】（1）法一：如图，连接，交于F，取中点E，连接，． ，F为中点，且， 又且，且，所以四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面． 法二：如图，连接，交于E，连接．，E分别为，中点，，平面，平面，平面． （2）∵四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，，又，，，平面，平面，，又，，，平面，平面，如图，以D为原点，在平面内过点D作的平行线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 得，，，，，，．设，，， ，，设平面法向量，且，，，令，解得，，，而设平面法向量， 则，由题意得二面角为，得到，化简得，．故不存在点M满足二面角等于． 18．（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）双曲线中，，，渐近线方程为，联立渐近线与抛物线（），将代入抛物线得对应交点为，，则，解得，故抛物线C的方程为． （2）（ⅰ）设直线l：，联立得，则，，弦长，故，中点Q到y轴距离为，代入得，令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增，最小值为，故Q到y轴距离的最小值为． （ⅱ）因为，所以． 当时，， 所以，即；当时，，即成立． 19．（1）单调递增区间为，单调递减区间为和 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【详解】（1）由，得，令，解得；令，解得，或，故的单调递增区间为，单调递减区间为和． （2）证明：设，，则，因为，则，，所以，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，所以当时，，所以，，即． （3）证明：由，得，则， 即． 由（2）知，在上单调递增，所以， 即，所以， 所以，设（）， 则，所以在上单调递增，则，，即，，又，所以，即． 又，所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $