第四章 第25课时 任意角和弧度制、三角函数的概念 课件-2027届高考数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数的概念”专题，依据高考评价体系明确了任意角概念、弧度制转化、三角函数定义三大考查要求，通过教材典题改编与知识要点系统梳理，突出任意角象限判断、扇形弧长面积计算、三角函数定义应用等高频考点，归纳选择填空常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“考点精研+技巧提炼+素养培养”的复习策略，如扇形面积最大值问题结合二次函数与均值不等式求解，培养数学思维；三角函数符号判断运用“象限口诀”，发展数学眼光。特设巩固迁移与备选题，帮助学生掌握角的范围分析、定义应用等答题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第25课时 任意角和弧度制、三角函数的概念 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 1 [考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的相互转化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 2 以题引理·激活思维 1．(苏教版必修第一册P171练习T6)下列命题中正确的是(　　) A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限角 D．第一象限角一定是锐角 √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 3 C　[A不正确，如－330°就是第一象限角；B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角； C正确，因为钝角大于90°且小于180°，它的终边一定在第二象限； D不正确，如－330°就是第一象限角，但－330°并不是锐角． 故选C．] 4 2．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则角α是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 C　[若sin α<0，则角α在第三或第四象限或终边落在y轴负半轴上，若tan α>0，则角α 在第一或第三象限，所以当sin α<0且tan α>0时，角α 在第三象限．故选C．] √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 5 3．(人教B版必修第三册P12练习BT1改编)下列各式不正确的是(　　) A．－210°＝－ C．335°＝ C　[对于A，－210°＝－210×，故A正确；对于B，405°＝405×，故B正确；对于C，335°＝335×，故C错误；对于D，705°＝705×，故D正确．] √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 6 4．(北师大版必修第二册P12习题1－3B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________，面积为2R2的扇形的圆心角等于________弧度． R， 由扇形面积公式得S＝|α|R2＝2R2， ∴|α|＝＝4．] 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 7 5．(湘教版必修第一册P165练习T1改编)已知角β的终边经过点M (－3，－1)，则sin β＝_______，cos β＝________，tan β＝______． － ．] － 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 8 1．角的概念 (1)从旋转的角度看，角可分为正角、____和____． (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角． (3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为____________________． 负角 零角 {β|β＝2kπ＋α，k∈Z} 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 9 [二级结论]　象限角的表示 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 10 2．弧度制及弧长、扇形面积公式 (1)1弧度的角 长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝____． 半径长 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 11 (3)角度与弧度的换算 ①1°＝． (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α rad，半径为r，则l＝________，扇形的面积为S＝． |α|r 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 12 3．任意角的三角函数 (1)定义 前 提 如图，设α是一个任意角，α∈R它的终边与______交于点P(x，y) 单位圆 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 13 定 义 正弦 __叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝__ 余弦 __叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝__ 正切 ____叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) y y x x 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 14 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么r＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 15 1．用活三角函数的概念及单位圆 (1)其隐含着三角换元，如x2＋y2＝r2，则可设x＝rcos α，y＝rsin α． (2)借助单位圆易知：若角α∈，则sin α<α<tan α． 2．在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，角度与弧度不可混用． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 16 考点一　任意角 [典例1]　 (1)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 精研考点·提升素养 √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 17 (2)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为________________________________________． {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z} 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 18 (1)D　(2){α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}　[(1)由α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z． 对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误； 对于B，可得＋kπ，k∈Z， 当k为偶数时，位于第三象限，所以B错误； 19 对于C，可得2π＋2kπ<＋2kπ，k∈Z， 即2(k＋1)π<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误； 对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确． (2)在0°~360°内，终边落在阴影部分内的角表示为45°<α<150°， 所以所求角的集合为{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．] 20 名师点评：确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤 (1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围． (2)写出mα或的范围． (3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，…． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 21 [巩固迁移] 1．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在　(　　) A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 √ B　[当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈ Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．] 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 22 2．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为___________________________． ．] 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 23 【教用·备选题】 如果α是第三象限的角，角终边所在的位置是_________________． 第一、三、四象限　[因为π＋2kπ<α<， 所以． 当k＝3n； 当k＝3n＋1； 当k＝3n＋2． 综上，的终边在第一、三、四象限．] 第一、三、四象限 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 24 考点二　扇形的弧长及面积公式 [典例2]　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r． (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． [解]　(1)α＝35°＝35× rad， 扇形的弧长l＝αr＝(cm)． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 25 (2)法一：由题意知2r＋l＝16， ∴l＝16－2r(0<r<8)， 则S＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16， 当r＝4 cm时，Smax＝16 cm2，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2 rad， ∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad． 法二：由题意知2r＋l＝16，∴S＝＝16， 当且仅当l＝2r，即r＝4 cm时，等号成立，S的最大值是16 cm2． 此时扇形的圆心角α＝2 rad． 26 名师点评：应用弧度制解决问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题． (3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 27 [巩固迁移] 3．木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，某扇环形木雕如图所示，可视为扇形OAB截去扇形OCD所剩余的部分．已知扇环形ABCD的周长为8 dm，OA＝3OD＝3 dm，则∠AOB的弧度数为________，扇环形ABCD的面积为________dm2． 1 4 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 28 1　4　[设∠AOB＝α，则依题意有2＋α·OA＋α·OD＝8， 即2＋3α＋α＝8，得α＝1， 所以扇环形ABCD的面积为＝4(dm2)．] 29 考点三　三角函数的概念及应用 [典例3]　(1)(2025·东城区一模)在平面直角坐标系Oxy中，角α以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值一定大于零的是 (　　) A．sin(π＋α) B．cos(π－α) C．sin 2α D．cos 2α √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 30 (2)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　) A． B． C． D． √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 31 (1)C　(2)D　[(1)∵角α的终边落在第一象限， ∴sin α>0，cos α>0， ∴sin(π＋α)＝－sin α<0，A错误； cos(π－α)＝－cos α<0，B错误； sin 2α＝2sin αcos α>0，C正确； 当α＝时，cos 2α＝0，D错误． 故选C． 32 (2)设P，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动， 则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得， sin α＝sin，即y＝2cos 2， cos α＝cos，即x＝2sin 2． 故选D．] 33 名师点评：(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置． (2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 34 [巩固迁移] 4．(2026·湖南长沙模拟)“sin θ·cos θ>0”是“θ为第一象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ B　[当sin θ·cos θ>0时，θ不一定是第一象限角，即充分性不成立；当θ为第一象限角时，则sin θ·cos θ>0一定成立，即必要性成立．故选B．] 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 35 5．(2025·河北保定一模)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝________． －　[由题意可知，cos α＝x， ∵x≠0，∴＝2，x＝±， 又α是第二象限角，所以x＝－，∴tan α＝．] － 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 36 【教用·备选题】 (多选)质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的☉O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为3 rad/s，起点为☉O与x轴非负半轴的交点；B的角速度大小为1 rad/s，起点为射线y＝x(x≥0)与☉O的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是(　　) A．　　 B．(0，1) C．(－1，0) D．(0，－1) √ √ 第25课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 37 BD　[依题意，点A的起始位置A0(1，0)，点B的起始位置B0，则∠A0OB0＝， 设当A与B重合时，用的时间为t s，于是3t－t＝＋2kπ，k∈N，即t＝＋kπ，k∈N， 则3t＝＋3kπ，k∈N，当k为偶数时， A，即A(0，1)，B正确； 当k为奇数时，A， 即A(0，－1)，D正确．故选BD．] 38 谢 谢 ！ $