第一章 二次函数——二次函数图像与性质、抛物线与x轴的交点等知识点同步练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，以表达式类型为线索，构建从基础性质到综合应用的递进训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |y=ax²+bx+c图象性质|1例+3练|给定函数值表/点坐标求参数范围，性质应用|从一般式概念生成，强化几何直观与抽象能力| |y=a(x-h)²+k图象性质|1例+4练|开口方向、对称轴、顶点坐标判断，平移变换|顶点式性质推导，培养空间观念与推理意识| |抛物线与x轴交点|1例+8练|交点坐标、根的分布、图象与方程关系|性质应用拓展，建立模型意识与运算能力| |图象判断式子符号|1例+3练|多结论正误判断，符号推理|综合运用知识，发展理性思维与数据观念|

二次函数图像与性质、抛物线与x轴的交点等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解题 例题： （选择题）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　 　）。 …… …… …… …… …… …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性。通过表格数据发现二次函数图像关于直线对称，进而结合表格作答即可。 【详解】解：∵由表格数据，当和时，y值均为， ∴对称轴为直线， 由表格可知方程（，，，为常数）的负数解的取值范围是， 则方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是， 故选：D。 同步练： （选择题）1.在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（   ）。 A． B．或 C．， D． 【答案】B 【分析】线段上所有点横坐标均为，纵坐标满足，由抛物线与线段有公共点结合图象求解即可。 【详解】解：∵ 点，， ∴ 线段上所有点横坐标为，且， ∵ 抛物线与线段有公共点，如图，      当抛物线过时， ∴， 解得：或， 当抛物线过时，如图，      ∴， 解得：或， ∵抛物线，L与线段有公共点， ∴或。 （填空题）2.请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为。 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键。依据题意，设函数为由图象过原点，从而，再由函数的最小值为，可知，进而可以得解。 【详解】解：由题意，设函数为 ∵图象过原点， ∴， 又∵函数的最小值为， ∴ ∴若取，则b可取， 综上，函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）。 （填空题）3.若抛物线最大值是0，则_____________。 【答案】 【分析】利用顶点坐标公式进行计算即可。 【详解】∵最大值是0， ∴，即：， ∴， ∴， 即： 解得：或（舍）； 故答案为：。 知识点二：根据y=a（x-h）²+k的图象和性质相关问题 例题： （选择题）二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（   ）。 A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 D．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【答案】B 【分析】根据二次函数解析式的二次项系数的符号与图像的开口方向的关系与顶点式即可求得答案。 【详解】解：，， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为， 故选B。 同步练： （选择题）1.对于抛物线，下列结论不正确的是（   ）。 A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．此抛物线是由向左平移1个单位得到的 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的解析式可知其开口向下、对称轴为，顶点坐标为，据此可判断ABC；再根据函数图象平移对解析式的影响可判断D。 【详解】解：A：，抛物线开口向下，故A正确； B：对称轴为，故B错误； C：顶点坐标为，故C正确； D：向左平移1个单位得到，故D正确； 故选：B。 （选择题）2.已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握性质并学会应用是解题的关键。根据解析式推出对称轴，再根据推出与时，与的大小即可求解。 【详解】解：， 对称轴， 抛物线经过点，，且， 时，抛物线开口向上，且， ，即， ； 当时，抛物线开口向下，且， ，即， ， 故选：D。 （填空题）3.已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是。请你写出满足条件的一个函数的解析式 。 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，设二次函数的解析式为，通过开口向下得出，顶点坐标是，则，，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键。 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴，取， ∵顶点坐标是， ∴，， ∴函数的解析式是：， 故答案为：（答案不唯一）。 （填空题）4.若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 。 【答案】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的性质解答即可。 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴的取值范围是， 故答案为：。 知识点三：解抛物线与x轴的交点问题 例题： （选择题）已知抛物线的图象如图所示，那么代数式，，，中，值为正数的有（   ）。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的性质，抛物线与坐标轴交点性质，特殊值对应的函数值判断。根据对称轴位置，与y轴的交点位置，确定a、b、c的符号；根据抛物线与x轴交点的个数，确定的符号；时，观察直线与抛物线的交点，x轴上方，函数值为正，反之， 为负。 【详解】解：由图象知，，， ∴， ∴，； 抛物线与轴有两个交点， ∴； 与轴的交点到对称轴的距离小于2， ∴右交点的横坐标小于3， ∴当时，， 综上，值为正数的有，，，，共4个， 故选：A。 同步练： （选择题）1.已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设，而，即函数向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解。 【详解】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移3个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，， 故选：B。 （填空题）2.抛物线与x轴的交点坐标为__________。 【答案】或 【分析】把代入，即可求出与x轴的交点坐标。 【详解】解：令代入， 得 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或。 （填空题）3.二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 。 【答案】或3 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意和图象，可以直接写出方程的解。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：。 （填空题）4.请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式 。 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数y＝+bx+c图象过原点，则c＝0；二次函数图象与x轴有两个交点，则。写出满足以上两个特征的二次函数解析式即可。 【详解】解：根据题意得，二次函数的解析式为：（答案不唯一）， 故答案为：。 （填空题）5.二次函数的图象经过第一象限的格点（即纵、横坐标都是整数的点）共有_________个。 【答案】1999 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键。求得抛物线与坐标轴的交点即可求得图象经过第一象限的整格点（即纵、横坐标是正整数的点）的个数。 【详解】解：∵二次函数 ∴令，得 解得或 令，得 ∴抛物线与坐标轴的交点有和， ∴图象经过第一象限时，， ∴故一共有1999个格点， 故答案为1999。 （填空题）6.已知抛物线，，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为 。 【答案】，1，3 【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），再根据抛物线与x轴有一个交点，经过点（-1，0），和点（3，0）三种情况求出a的值即可。 【详解】解：∵ ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）， ∵抛物线，与x轴共有3个交点， ∴分三种情况： ①抛物线与x轴有一个交点，则有 解得： ②当抛物线经过点（-1，0）时，则有： 解得， ③当抛物线经过点（3，0）时，则有： 解得， 综上，两个抛物线与x轴共有3个交点时a的值有，1，3 故答案为：，1，3。 （解答题）7.已知二次函数（为常数）。 （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点。 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键。 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点。 （解答题）8.已知二次函数。 （1）求该二次函数与轴的交点坐标和顶点坐标； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当时，的取值范围； （3）当取什么值时，随的增大而减小。 【答案】（1）这条抛物线与x轴交点的坐标，；顶点坐标为； （2）图见解析，x取值范围是； （3）当时，y随x的增大而减小。 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程， （1）在中，令，则，进行计算即可得； （2）列表，描点，连线，观察函数图象即可得； （3）观察函数图象即可得。 【详解】（1）解：在中，令，则， ， ， ∴这条抛物线与x轴交点的坐标，； ， 顶点坐标为； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 描点，连线，如图所示：   ； 观察图象，当时，x取值范围是； （3）解：根据函数图象得，当时，y随x的增大而减小。 知识点四：根据二次函数的图象判断式子符号的综合运用 例题： （选择题）如图，二次函数的图象与轴交于点，，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的个数为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，由函数图像开口向上推出；由二次函数的图象与轴交于点，，推出抛物线的对称轴为直线：；由函数图像与轴的交点在轴的负半轴，推出；据此即可判断。 【详解】解：∵函数图像开口向上， ∴； ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线：； ∴，即； ∵函数图像与轴的交点在轴的负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图像可知：当时，；故③错误； ∵， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线：，与轴的一个交点为， ∴　由图像可知，当时，，故⑤正确； 故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，抛物线（为常数）关于直线对称。下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（   ）。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键。 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A。 （选择题）2.已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④抛物线的顶点坐标是；⑤；⑥当时，随的增大而增大。其中正确的个数有（　　 ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】由函数图象即可判断①⑤⑥；根据开口方向，与y轴交于y轴正半轴，且对称轴在y轴右侧即可判断②；根据当时，，即可判断③；根据抛物线与x轴的两个交点分别为，即可证明抛物线的顶点坐标是即可判断④。 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧， ∴ ∴， ∴，故②错误； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的两个交点分别为， ∴抛物线对称轴为直线 ∴顶点坐标为，故④正确； 由函数图象可知当时，二次函数与直线总有两个不相同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，故⑤错误； 由函数图象可知，当时，随的增大而增大，故⑥错误； 故选A。 （填空题）3.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 。 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点。抛物线与轴交于。根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可。 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确。 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确； 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确； 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确； 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确； 综上，可得正确结论的序号是：，故答案为：。 试卷第5页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数图像与性质、抛物线与x轴的交点等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解题 例题： （选择题）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　 　）。 …… …… …… …… …… …… A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（   ）。 A． B．或 C．， D． （填空题）2.请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为。 （填空题）3.若抛物线最大值是0，则_____________。 知识点二：根据y=a（x-h）²+k的图象和性质相关问题 例题： （选择题）二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（   ）。 A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 D．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 同步练： （选择题）1.对于抛物线，下列结论不正确的是（   ）。 A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．此抛物线是由向左平移1个单位得到的 （选择题）2.已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（   ）。 A． B． C． D． （填空题）3.已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是。请你写出满足条件的一个函数的解析式 。 （填空题）4.若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 。 知识点三：解抛物线与x轴的交点问题 例题： （选择题）已知抛物线的图象如图所示，那么代数式，，，中，值为正数的有（   ）。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 同步练： （选择题）1.已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ）。 A． B． C． D． （填空题）2.抛物线与x轴的交点坐标为__________。 （填空题）3.二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 。 （填空题）4.请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式 。 （填空题）5.二次函数的图象经过第一象限的格点（即纵、横坐标都是整数的点）共有_________个。 （填空题）6.已知抛物线，，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为 。 （解答题）7.已知二次函数（为常数）。 （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点。 （解答题）8.已知二次函数。 （1）求该二次函数与轴的交点坐标和顶点坐标； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当时，的取值范围； （3）当取什么值时，随的增大而减小。 知识点四：根据二次函数的图象判断式子符号的综合运用 例题： （选择题）如图，二次函数的图象与轴交于点，，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的个数为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 同步练： （选择题）1.如图，抛物线（为常数）关于直线对称。下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（   ）。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （选择题）2.已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④抛物线的顶点坐标是；⑤；⑥当时，随的增大而增大。其中正确的个数有（　　 ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （填空题）3.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 。 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $