专题02 二次函数y=ax²+k、y=a（x-h）²（暑假自学讲义）2026--2027学年沪教版（上海）九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题02 二次函数y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 题型3 抛物线的平移 题型4 待定系数法和数形结合法 · 能画出y=ax²+k、y=a(x-h)²的图象，明确其为抛物线。 · 掌握y=ax²+k、y=a(x-h)²的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 · 理解y=ax²+k、y=a(x-h)²与y=ax2的平移关系，会进行图象平移变换。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 2. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 4. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） ； 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 5. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k; （2）如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k. 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 题型归纳 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【例2】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)观察图像，说出里两个图像之间位置的变化关系。 【例3】已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【变式练习】 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 3．已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 4．二次函数的顶点坐标为______． 5．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 6．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 【例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【点睛】因为二次函数y=a(x-h)²的图像具有轴对称性，故在列表取值时就要注意取值的对称性，顶点坐标（h，0）在表格中要处于居中位置。 【变式练习】 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 2．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 3．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 4．抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 5. 若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 6．如图是二次函数的图象，当时随的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 7．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 8. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 9．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 题型3 二次函数图象的平移 【例1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【例2】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【点睛】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【变式练习】 1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 2．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 3．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 3．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 题型4 待定系数法和数形结合法 【例1】已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【例2】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【变式练习】 1．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 3. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 4．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 5．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 过关练习 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 3．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 5．关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 6．下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 7．在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 10．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数 的图象的顶点坐标是_____________________ 12．抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为___． 13．抛物线上有两点、，若，则___________ 14．点，在二次函数的图象上，则_______ （用“、、”填空） 15．在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 16．已知，为二次函数图象上的两点，那么_____（填“>”“<”或“=”）． 17．已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． 18．写出一个函数______，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 20．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 21 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。 22．在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象． （1）从两个函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点． （2）从其他方面说出这两个函数的相同点与不同点． 23．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 24. 如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长是___________； (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题02 二次函数y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 题型3 抛物线的平移 题型4 待定系数法和数形结合法 · 能画出y=ax²+k、y=a(x-h)²的图象，明确其为抛物线。 · 掌握y=ax²+k、y=a(x-h)²的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 · 理解y=ax²+k、y=a(x-h)²与y=ax2的平移关系，会进行图象平移变换。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 2. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 4. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） ； 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 5. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k; （2）如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k. 【易错提醒】 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 题型归纳 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【例2】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)观察图像，说出里两个图像之间位置的变化关系。 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 (3)的图像是由函数的图像向下平移2个单位得到。 【例3】已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 【变式练习】 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 2．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 3．已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∵， ∴. 4．二次函数的顶点坐标为______． 【详解】解：由二次函数，得，，， ∴顶点横坐标， 顶点纵坐标， 故顶点坐标为． 故答案为：． 5．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 6．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得：． 所以满足条件的m的值为2或； （2）解：当，即时，抛物线有最低点， 当时，此时抛物线的关系式为， 该抛物线的最低点即顶点坐标为， 当时，函数值y随着x的增大而增大． 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 【例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式练习】 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 2．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 3．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 4．抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 5. 若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 6．如图是二次函数的图象，当时随的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 【详解】解：对于二次函数， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上， 又∵ 对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 7．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 8. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 9．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 题型3 二次函数图象的平移 【例1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【例2】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【变式练习】 1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 2．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 3．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 3．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：根据题意，满足题意的抛物线解析式为； （2）解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为． 题型4 待定系数法和数形结合法 【例1】已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【例2】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【变式练习】 1．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 2. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 3. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 4．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 5．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 过关练习 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式． 利用形如的二次函数的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵形如的二次函数，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 3．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 4．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】把抛物线化成顶点式，进而即可得到答案； 本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键 【详解】解：根据题意，得， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为,即y 轴 故选：C 5．关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 6．下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 7．在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的增减性，先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据开口方向判断函数的增减区间即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 9．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的意义，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式求出对称轴即可． 【详解】∵ ∴对称轴为直线， 故选：B． 10．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．二次函数 的图象的顶点坐标是_____________________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为轴，则把代入求出，故顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为轴， 把代入，得， 即顶点坐标为， 故答案为：． 12．抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质等知识点，掌握关于x轴对称的性质是解题的关键 由关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此将原解析式中的替换为，再整理即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为， 设关于轴对称的抛物线上点为，则其对称点在原抛物线上， 代入得，整理得：． 故答案为． 13．抛物线上有两点、，若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系． 【详解】解：抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 两点均在对称轴右侧， 随的增大而减小， ． 故答案为：． 14．点，在二次函数的图象上，则_______ （用“、、”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的性质，开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：由函数，得对称轴为，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 15．在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【答案】② 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 16．已知，为二次函数图象上的两点，那么_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质知识点，解题的关键是掌握二次函数的对称轴、开口方向以及点到对称轴的距离对函数值大小的影响． 根据点到对称轴的距离越近，函数值越大，即可判断、的大小． 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 故答案为：． 17．已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：对于二次函数，，对称轴为直线， ∴当时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 18．写出一个函数______，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质．由题可知对称轴为，又根据在对称轴左侧随的增大而增大，右侧随的增大而减小，所以二次项系数为负数，所以只需写出一个二次项系数为负数，且对称轴为的二次函数即可． 【详解】解：符合题意的二次函数可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 20．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 21 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． ∴ 22．在同一平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象． （1）从两个函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点． （2）从其他方面说出这两个函数的相同点与不同点． 【详解】解：如图． （1）相同点：形状都是抛物线，对称轴都是y轴． 不同点：的图象开口向上，顶点坐标是，的图象开口向下，顶点坐标是． （2）相同点：图象开口大小相同． 不同点：对于，当时，随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 对于，当时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 23．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    24. 如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长是___________； (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； 【详解】（1）解：如图，∵△ABM是完美三角形， ∴ON=AN=BM 设B（n,n） ∵点B（n,n）在抛物线上 ∴ n=n2 解之得，n=0(舍)或n=1, ∴AB=2n=2 （2）如图 ∵为等腰直角三角形， ∴AN=BN=MN， ∵当x=0时，=6 ∴M点坐标为（0，6） ∵AB=8 ∴AN=BN=MN=4，则点坐标为(4,10)，代入抛物线+6， ∴ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $