第10讲二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质（12种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第10讲二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质（12种题型） 【知识梳理】 一：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 二：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 三：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 四：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 五：二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【考点剖析】 题型1：求二次函数y=ax2+c(a≠0)解析式 例1.求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线． 题型2：二次函数y=ax2+c(a≠0)平移 例2.在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题． (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； (3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． (3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线. 题型3：二次函数y=ax2+c(a≠0)的实际应用 例3.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离． 题型4：二次函数y=ax2+c(a≠0)与一次函数的综合 例4.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）． 【变式】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型5：二次函数平移 例5.在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像． 【变式1】把抛物线向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下平移2个单位，得到抛物线____________． 【变式2】将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位 得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是____________． 题型6：二次函数开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的最值 例6.将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶