课后作业28 简单的三角恒等变换-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦三角恒等变换，通过基础巩固、中档综合、探究提升三层设计，实现从单一公式应用到综合问题解决的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二倍角、诱导公式等单一应用|单选1-3直接公式化简（如题3三角函数式化简）| |中档层|和差角、同角关系综合应用|结合高考真题（题1新高考Ⅱ卷）及模拟题（题4黄冈模拟）| |综合层|公式推导与实际情境应用|解答题13推导三倍角公式，融入黄金分割（题6）等跨情境问题|

课后作业(二十八)　简单的三角恒等变换 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝＝ (　　) A． C． 2．已知cos＝ (　　) A． 3．的化简结果为 (　　) A．－sin 20° B．－cos 20° C．cos 20° D．sin 20° 4．(2026·湖北黄冈模拟)已知cos＝ (　　) A． 5．已知cos α－cos β＝，则tan(α＋β)的值为 (　　) A．－4 C．－2 6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 二、多项选择题 7．下列各式与tan α相等的是 (　　) A． C． 8．已知，则 (　　) A．cos α＝－ C．β－α＝ 三、填空题 9．已知函数f (x)＝3sin x＋4cos x．若x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos＝___________． 10．(2026·广东执信中学月考)已知α∈＝___________． 四、解答题 11．(13分)已知α∈，且tan(2α＋β)＝3． (1)求tan 2α的值； (2)求α＋β的值． 12．(13分)已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈．求： (1)tan α； (2)sin． 13．(15分)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α． (1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式； (2)求sin 18°的值； (3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值． 课后作业(二十八) 1．D　2．D 3．C　[原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°．] 4．B　[sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．] 5．A　[由α＝，β＝， 得cos α－cos β＝－2sinsin， sin α－sin β＝2cossin＝－， 两式相除可得tan， 所以tan(α＋β)＝tan＝－4．故选A．] 6．C　[因为m＝2sin 18°， 所以由4m2＋n＝16， 可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°， 因此＝4．] 7．BD　[对于A，＝＝； 对于B，＝tan α； 对于C，＝；对于D， ＝＝tan α． 故选BD．] 8．BC　[因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，可得cos 2α＝－＝2cos2α－1⇒cos2α＝⇒cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－＝－≤α＋β≤，－π≤－2α≤－≤β－α≤π，则β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选BC．] 9．　[f (x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，sin φ＝，cos φ＝， ∵当x＝θ时，f (x)取得最大值， ∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z， ∴cos＝cos ＝cos＝coscos φ＋sinsin φ ＝－．] 10．3　[由题设有25－10sin α－1＝0， 即25sin2α＋5sin α－12＝0， 解得sin α＝或sin α＝－， 因为α∈， 所以sin α＝， 则cos α＝－＝－， 则tan＝＝3．] 11．解：(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝， ∴sin β＝＝， ∴tan β＝． 又∵tan(2α＋β)＝3， ∴tan 2α＝tan[(2α＋β)－β]＝． (2)∵tan 2α＝， ∴2tan2α＋3tan α－2＝0， ∴tan α＝或tan α＝－2， ∵α∈，∴tan α＝， 又∵tan β＝， ∴tan(α＋β)＝＝＝1， ∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈， 又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝． 12．解：(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝＝＝0， 即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈， ∴tan α＝－． (2)∵sin 2α＝＝－， cos 2α＝， ∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－． 13．解：(1)sin 3α＝sin＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α ＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α ＝2sin α·cos2α－sin α＋2sin α·coα ＝4sin α·cos2α－sin α ＝4sin α·－sin α ＝－4sin3α＋3sin α． (2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°， 即sin＝cos， ∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°， ∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3， 即2sin 18°＝4－3， 整理得4sin218°＋2sin 18°－1＝0， ∵sin 18°>0， ∴sin 18°＝． (3)由(1)得sin3α＝sin α－sin 3α， ∴sin3126°＋sin36°－sin366° ＝sin 126°－sin 378°＋sin 6° －sin 18°－sin 66°＋sin 198° ＝ －(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)＝ － ＝ ＝－sin 18°＝． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $