第四章 课时作业4 三角恒等变换-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换公式体系，以题载法构建“定义-公式-应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6（单选）|定义法求三角函数值、弦化切、两角和差公式正用|从三角函数定义到同角关系，逐步过渡到两角和差公式直接应用| |综合辨析|3（多选）|二倍角公式逆用、平方消元法、象限角范围分析|结合角的范围深化二倍角公式综合应用，培养分类讨论思维| |拓展提升|5（填空+解答）|辅助角公式、恒等式证明、最值求解|通过函数化归（辅助角公式）与代数变形，实现公式向问题解决的迁移|

课时4 三角恒等变换 1、 单选题 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 2．已知tan α＝，则＝(　　) A.－2 B.－ C. D.2 3、(2026·湖北武汉市质检)已知，则（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南师范大学附属中学模拟)若sinα＋sin＝sin，则sinα＝(　 　) A．0 B．± C．± D．± 5.已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　 　) A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2、 多选题 7．已知α＋的终边过点P(1，3)，则有(　　) A．sin 2α＝ B．sin α＝－ C．tan 2α＝ D.＝ 8、已知0＜α＜β＜，且3cosα＋cosβ＝3,3sinα－sinβ＝2，则有(　　) A．cos(α＋β)＝－ B．sin(α＋β)＝ C．tan(2α＋2β)＝ D．β∈ 9．已知α∈，β∈(0，π)，cos2α＝－，cos(β－α)＝－，则有(　 　) A．tanα＝－ B．sin(β－α)＝－ C．α＋β＝ D．cosαcosβ＝－ 3、 填空题 10、(2026·山东菏泽市高三期末)已知α为锐角，且sinα＝，则cos2 ＝__ __． 11、已知P(x，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos＝________. 12．已知函数f(x)＝3sinx＋4cosx，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝__ __． 4、 解答题 13.已知f（α）＝. （1） 化简f（α）； （2） 若α是第二象限角，且sin α＝，求f（α＋）的值． 14.（2026·重庆涪城区期中）已知，，且满足． (1) 证明：； (2) 求的最大值． 课时4 三角恒等变换参考答案 1．D【解析】因为，即，即角的终边经过点，所以，，所以.故选D. 2．D【解析】因为tan α＝，所以＝＝＝＝2.故选D. 3、B【解析】展开得，两边同平方有，即，解得.故选B. 4．A【解析】因为sinα＋sin＝sinα＋cosα＝sin，所以sin＝sin，所以α＋＝－α＋2kπ(k∈Z)或α＋＋－α＝π＋2kπ(k∈Z)，解得α＝kπ(k∈Z)，故sinα＝sinkπ＝0．故选A. 5.B【解析】由题知cos α＝＝．因为tan β＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝．又0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，所以α＋β＝．故选B. 6．D【解析】由得，，得，所以.故选D. 7．ACD【解析】因为α＋的终边过点P(1，3)，所以tan＝＝3，得tan α＝，故α为第一象限角，B错误； sin 2α＝＝＝＝，A正确； tan 2α＝＝，C正确； 因为＝＝＝，D正确．故选ACD. 8、 ABD【解析】对于选项A，因为3cosα＋cosβ＝3,3sinα－sinβ＝2，两式平方后相加可得9＋10＋6(cosαcosβ－sinαsinβ)＝13，所以cos(α＋β)＝－，故A正确. 对于选项D，因为0＜α＜β＜，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＜0，故α＋β∈．由2β＞α＋β＞，知β＞．又0＜α＜β＜，所以β∈，故D正确； 对于选项B，sin(α＋β)＝＝，故B正确； 对于选项C，tan(α＋β)＝＝－3，所以tan(2α＋2β)＝＝＝，故C错误．故选ABD. 9． BD【解析】对于选项A，因为＜α＜π，cos2α＝－，所以tanα＝－＝－2，故A错误； 对于选项B，由－π＜－α＜－，0＜β＜π，得－π＜β－α＜，又cos(β－α)＝－＜0，所以－π＜β－α＜－，所以sin(β－α)＝－＝－，故B正确； 对于选项C，由＜α＜π，得π＜2α＜2π．又cos2α＝－，所以π＜2α＜，sin2α＝－，sin(α＋β)＝sin[2α＋(β－α)]＝sin2αcos(β－α)＋cos2αsin(β－α)＝．又＜α＋β＜2π，所以α＋β＝，故C错误； 对于选项D，根据C知α＋β＝，所以cosαcosβ＝＝×＝－，故D正确．故选BD. 10、【解析】 因为α为锐角，sinα＝，则cosα＝＝，所以cos2＝＝＝． 11、－【解析】因为P(x，2)是角α终边上一点，则有cos α＝＝＝－，解得x＝－1，则sin α＝＝，因此，cos＝coscos α－sin sin α ＝×－×＝－. 12．3【解析】f(x)＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ∈，则f(x)≤f(θ)＝5⇒θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒θ＝－φ＋2kπ，k∈Z，故tanθ＝tan＝＝，即＝⇒m＝3． 13.【解】（1） f（α）＝＝＝cos α. （2）因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.因为sin α＝，所以cos α＝－，故f＝cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－. 14.（1）【证明】由已知，得，即，所以. （2）【解】因为，则，，由（1）得，（当且仅当，即时取等号），所以的最大值是． . 学科网（北京）股份有限公司 $