精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2026年中考 九年级数学综合练习试题

2026年九年级综合练习 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和3 B. 和 C. 和 D. 和 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 豆包AI日常单日智能服务请求量可达次．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是五个完全一样的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，．．．，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 26 D. 29 8. 如图，直线abc，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：AC＝1：3，DE＝3，则EF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 9. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，平面直角坐标系中等腰的斜边在x轴上，且．将直线从y轴出发向右平移，在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 13. 某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为______ 14. 计算的结果是__________． 15. 不等式组的解集是___． 16. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了______度． 17. 如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 18. 如果 表示， 表示，那么 ________．（用含有，的代数式表示） 19. 在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为_____________． 20. 如图，菱形的边长为4，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接，，．以下四个结论正确的有________（填序号）． ①是等边三角形；②；③的最小值是；④当时，． 三、解答题 21. 先化简，再求值，其中，． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段和线段的端点均为小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在方格纸中画出等腰，且的面积是10； （2）在上找一点F，连接，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的正切值． 23. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周校外锻炼时间（时间用x表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理． 数据分4组：A组：；B组：；C组：；D组： 下面给出了部分信息： i．C组数据： 6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 ii．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）请通过计算，请补全条形统计图； （2）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是________h； （3）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共有600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 24. 如图1，在一个平分角的仪器中，，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． （1）请说明是这个角的角平分线的道理； （2）如图2，把这个平分角的仪器，放到平行四边形中，点B在边上，点D在边上，点C恰好在对角线上，连接，过点H作交于点G，连接，，若，在不添加任何辅助线、字母的情况下，直接写出图2中四个三角形（除外），使写出的三角形的面积与面积相等． 25. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 26. 已知：如图1，是的内接三角形，于，交于，，． （1）求证：； （2）如图2，在弧上，在弧上，连接交于，弧弧，求证：． （3）如图3，在②条件下，平分，交于，交于，连接，若，，，求． 27. 如图，为的直径，切于点B，连接，交于点D． （1）如图1，点E在上，连接、，当四边形为平行四边形时，则线段与线段的关系为________________； （2）如图2，切于点F，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点K，弦平分，连接，交于点H，连接，当，时，求的长． 28. 已知，平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴于点A，交x轴于点B，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点C从A出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接，设点C运动时间为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，当点C在上时，延长至E，取x轴负半轴上一点D，分别连接、、，若，，，求直线的解析式． 29. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，连接． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，过点C作轴，交抛物线于点D，连接，E为中点，设点E的横坐标为t，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在线段上，，连接，点F是线段上，连接，过点G作轴交的延长线于点H，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点N，连接，当，时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级综合练习 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和3 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 轴对称图形关键看能否找到对称轴，中心对称图形关键看绕对称中心旋转后能否与原图形重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 豆包AI日常单日智能服务请求量可达次．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 4. 如图是五个完全一样的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确左视图是从物体的左面观察所得到的视图，需要确定从左面看时每一列正方体的个数即可． 【详解】解：该几何体从左往右有两列， 左边一列能看到有个正方体，右边一列能看到有个正方体， 所以左视图应该是左边一列有个正方形，右边一列有个正方形， 所以D选项是正确的． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程为，方程两边同乘最简公分母 （且）， 去分母可得， 去括号可得， 移项并合并同类项可得， 检验：当时，，故是原方程的解． 6. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，．．．，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 26 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据前四个图案圆圈的个数找出规律，即可求解． 【详解】解：第①个图案中有个圆圈， 第②个图案中有个圆圈， 第③个图案中有个圆圈， 第④个图案中有个圆圈， ⋯⋯， ∴第n个图案中有个圆圈， 则第⑨个图案中圆圈的个数为个圆圈， 故选：C． 8. 如图，直线abc，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：AC＝1：3，DE＝3，则EF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由平行线可得比例式，代入可求得EF． 【分析】解：∵AB：AC＝1：3， ∴AB：BC＝1：2， ∵a∥b∥c ∴，即， 解得EF＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 9. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答． 【详解】由作图可知，平分， ∵，， ，， ，点F为的中点， ， 故选：A． 10. 如图，平面直角坐标系中等腰的斜边在x轴上，且．将直线从y轴出发向右平移，在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的应用．过点A作轴于点D，设直线交x轴于点E，则，分两种情况，当直线在点A的左侧时，当直线在点A的右侧时，结合等腰直角三角形的性质列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，设直线交x轴于点E，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， 当直线在点A的左侧时，如图，设直线交于点G，则是等腰直角三角形，此时， ∴， ∴； 当直线在点A的右侧时，如图，设直线交于点F，则是等腰直角三角形，此时， ∴， ∴； 综上所述，当时，图象应为开口向上的二次函数图象；当时，图象应为开口向下的二次函数图象． 故选：B 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． ∴自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算方法，用不打折的区域除以总区域即可得答案． 【详解】解：其中不打折的概率为=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：. 15. 不等式组的解集是___． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式x＞3﹣2x，得：x＞1， 解不等式2﹣x＜4，得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为x＞1， 故答案为：x＞1． 【点睛】本题主要考查求不等式组的解集，掌握求不等式组的方法是解题的关键． 16. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 则， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，． 18. 如果 表示， 表示，那么 ________．（用含有，的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【详解】本题主要考查单项式乘以单项式，新定义，理解题目给出运算规定是解题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则计算即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 解：根据题意： × ． 故答案为：． 19. 在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情形：当，点E在和的延长线上，当，点E在和的延长线上，当，点E在和的延长线上，分别画出图形，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当，点E在和的延长线上， ∵， ∴， 由折叠得：，， 设，则，，， 在中，由三角形内角和定理得：， ∴， 即， ∴， ∵， ∴此时为锐角三角形，符合题意； ②如图，当，点E在和的延长线上， ∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时为锐角三角形，符合题意； ③如图，当，点E在和的延长线上， 由折叠可知：，， 设， 则，， 在中， 解得：， ∴， ∵， ∴此时为锐角三角形，符合题意； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 20. 如图，菱形的边长为4，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接，，．以下四个结论正确的有________（填序号）． ①是等边三角形；②；③的最小值是；④当时，． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出，证得，可得，即可判断①；当M与C重合时， ，即可判断②；当最小值时，即为最小值，而当时，值最小，利用勾股定理求得，即可判断③； 先求出、的长，证明，则，．在得出的长，则可得的长，即可判断④． 【详解】解：四边形是菱形， ，，． ． 、为等边三角形． ，． ，． ． 在和中 ． ． ， 为等边三角形，故①正确； 当M与C重合时， ， 与N重合． 四边形是菱形， ，故②错误； 为等边三角形， ． 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小． 为等边三角形， ，． ． ，故③正确； 作于E，作于F， 、为等边三角形， ，． 四边形是菱形， ． ， ． ． ． 在和中 ． ，． ， ． ． ，故④正确． 三、解答题 21. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后根据特殊角三角函数求出x，y，最后代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段和线段的端点均为小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在方格纸中画出等腰，且的面积是10； （2）在上找一点F，连接，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的正切值． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求，； 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接，则即为所求； （2）取格点G，连接，与交于点F，连接即可画出图象；证明，求出，即可解答 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵， ∴， ． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 取点H，K， 根据图象可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周校外锻炼时间（时间用x表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理． 数据分4组：A组：；B组：；C组：；D组： 下面给出了部分信息： i．C组数据： 6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 ii．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）请通过计算，请补全条形统计图； （2）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是________h； （3）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共有600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 【答案】（1） （2） （3）估计九年级所需指导教师6名 【解析】 【分析】（1）推导出D组的人数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，抽取学生的总人数为， ∴D组的人数为（名）， 补全条形统计图如图：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的第20、21个数据为，8， ∴抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是； 【小问3详解】 解：由题意，得 ， 答：估计九年级所需指导教师6名． 24. 如图1，在一个平分角的仪器中，，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． （1）请说明是这个角的角平分线的道理； （2）如图2，把这个平分角的仪器，放到平行四边形中，点B在边上，点D在边上，点C恰好在对角线上，连接，过点H作交于点G，连接，，若，在不添加任何辅助线、字母的情况下，直接写出图2中四个三角形（除外），使写出的三角形的面积与面积相等． 【答案】（1）证明：，，， ， ， 平分 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据边边边证明，即可得出答案； （2）根据题意角平分线的定义得，再根据平行四边形的性质结合“角边角”证明，可得，然后说明，接下来根据两直线间距离相等可得，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，， 根据题意可知平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，两直线间距离为h， ∴． 所以与面积相等的三角形有，，． 25. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件； （2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 26. 已知：如图1，是的内接三角形，于，交于，，． （1）求证：； （2）如图2，在弧上，在弧上，连接交于，弧弧，求证：． （3）如图3，在②条件下，平分，交于，交于，连接，若，，，求． 【答案】（1）证明：在上取点使，连接，，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与为所对的圆周角， ∴， ∵且， ∴垂直平分， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵，且、， ∴ （2）连接，，，，，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造等腰三角形，利用垂直平分线性质和角度推导，将线段、 转化到 上，设，先推导出相关角度关系，再在上取点使，证明，再证，从而得到； （2）利用弧相等推圆心角相等，再结合圆周角定理，证明内错角，从而根据平行线判定定理得出 ； （3）先通过角度推导和勾股定理，求出、、的长度，再利用垂径定理和三角函数求出圆的半径及圆心到的距离，最后用垂径定理公式计算 出的长度． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵平分，且， ∴， 设，连接，， 由（1）得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 作交于，连接，作交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴（舍）， ∴， 连接，，，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴设所在直线为水平线，则圆心到的距离为， ∵，， ∴， ∴， 根据垂径定理： ． 27. 如图，为的直径，切于点B，连接，交于点D． （1）如图1，点E在上，连接、，当四边形为平行四边形时，则线段与线段的关系为________________； （2）如图2，切于点F，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点K，弦平分，连接，交于点H，连接，当，时，求的长． 【答案】（1），与互相平分 （2）证明；连接，交于点N， 切于点F，切于点B， ，平分， ， ， 为的直径， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）与相交于点F，根据平行四边形的性质、切线的性质，得到，再根据垂径定理，得到，根据，依据平行线分线段成比例，得到，即与互相平分； （2）根据切线长定理、等腰三角形性质，得到，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而证明； （3）连接、，于点T，通过，证明，得到，，，在中，运用勾股定理，求出，即半径，再求出，根据，求出，在中，利用勾股定理，求出，最后在中，利用勾股定理，求出． 【小问1详解】 解：与相交于点F，如下图 切于点B，为的半径， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ，即， ， 又， ， 综上，，且与互相平分． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，于点T， ， ， 切于点F， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28. 已知，平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴于点A，交x轴于点B，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点C从A出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接，设点C运动时间为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，当点C在上时，延长至E，取x轴负半轴上一点D，分别连接、、，若，，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，结合求出，勾股定理求出，得，再根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，分当C在上时，当C在延长线上时，分别画图求解； （3）作于H，交延长线于M，作交于N，于K，于T，设，则，结合，，求出，则，结合，得出，证明，，即可证出，求出，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再证出，求出，，则，，解直角三角形求出，，得出，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴，， ， ， ， ， 将代入得， ． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 当C在上时，作于H，于G， ， ， ∴， ， ∴， ∵点C在直线上， ， ∴（）； 当C在延长线上时，作于K， ∵，， ∴， ∴（）， 综上，． 【小问3详解】 解：作于H，交延长线于M，作交于N，于K，于T， 设， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ，， ， ，， ， 设的解析式为：， 代入，，得：， 解得：，， ∴直线的解析式为． 29. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，连接． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，过点C作轴，交抛物线于点D，连接，E为中点，设点E的横坐标为t，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在线段上，，连接，点F是线段上，连接，过点G作轴交的延长线于点H，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点N，连接，当，时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出当时，，得到，推导出当时，或，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）求出抛物线，当时，或（舍去），得到，过点E作轴于点S交延长线于点R，推导出，得到，即，求出m的值即可； （3）取中点T，连接，，，设，，推导出是的中位线，得到，，继而推导出四边形是平行四边形，得到，证明出四边形为矩形，得到，推导出，求出，过点M作于点L，交y轴于点J，推导出，得到，过点E作轴于点Q，求出，由，求出或（舍），得到，继而求出直线的解析式为，直线的解析式为，得到，同理可得直线解析式为，即可解答． 【小问1详解】 解：由， 当时，， ， 当时，， 解得或， ， ． 【小问2详解】 解：由， 令，则， 化简，得， 或（舍去）， ， 过点E作轴于点S交延长线于点R，如图 ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ， 即， ． 【小问3详解】 解：取中点T，连接，，， 有， 设，， ∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， 过点M作于点L，交y轴于点J， ∴， 由旋转，得 ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴，即， ， ∴， 过点E作轴于点Q，则，， ∴， 由，可得 ， 解得或（舍）， ， ∵， ∴设直线的解析式为，， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立，得 ∴， 同理可得直线解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $