26.2.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y=a(x-h)^2 \)的图象和性质，课堂导入先复习\( y=ax^2+k \)的特征及平移关系，通过“思考”引出新知识，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点是通过描点法画图、对比表格归纳平移规律和性质，结合几何画板互动，体现数学眼光的几何直观、数学思维的推理意识。实例有探究环节的列表画图和性质对比，帮助学生培养画图与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 R·九年级上册 1 学习目标 1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象. 2.能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系. 3.能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点. 复习回顾 1.说说二次函数y=ax2+k的图象的特征. y=ax2+k a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k<0 a<0，k>0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上 y轴（直线x=0） （0,k） 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. x=0时，y最小值=k 向下 y轴（直线x=0） （0,k） 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最大值=k 2.二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象有何关系？ y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 思考：二次函数y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数y=ax2平移得到？ 同学们继续观察喷泉图片. 你又有哪些发现呢？ 探究：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=-(x+1)2， y=- (x-1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：先分别列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=- (x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y=- (x-1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 探索新知 y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 描点、连线，画出这两个函数的图象. y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 y轴 （0,0） 向下 直线x=-1 （-1,0） 向下 直线x=1 （1,0） x=-1 x=1 思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？ ①开口方向和大小相同； ②顶点纵坐标相同； ③对称轴不同. y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 y=- x2 y=- (x+1)2 向左平移 1个单位长度 y=- x2 y=- (x-1)2 向右平移 1个单位长度 x=1 思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？ x=-1 归纳：抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？ y=ax2 对称轴：y轴 顶点(0, 0) y=a(x-h)2 对称轴：x=h 顶点(h, 0) 当h>0时， 向右平移h个单位长度得到 当h<0时， 向左平移∣h∣个单位长度得到 左右平移规律：括号内左加右减. 思考：你能归纳二次函数y=a(x-h)2 的图象特征和性质吗? 点击打开几何画板 y=- x2 y=- (x-1)2 x=-1 x=1 y=- (x+1)2 二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质 y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,0） x=h时，y最大值=0 练习 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 解：图象如图. y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 【教材P39练习】 y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 y=x2开口向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,0).当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大. y=(x+2)2开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,0).当x<-2时，y随x的增大而减小，当x>-2时，y随x的增大而增大. y=(x-2)2开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0).当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大. 把抛物线y=x2向左平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x+2)2；把抛物线y=x2向右平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x-2)2. 随堂练习 1.抛物线y＝3(x-2)2可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到． 2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.要得到抛物线y= (x-4)2，可将抛物线y= x2( ). A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位 右 2 向下 （1，0） x=1 C 4.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- (x+2)2； （2）y=3(x-1)2. 解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为(-2, 0). （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为(1, 0). 5.若A(- ，y1)，B(- ，y2)，C( ，y3)为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2，y3的大小关系为__________. y1>y2>y3 6.顶点为(-5，0)，且开口方向、形状与函数y=- x2图象相同的抛物线是( ). A.y=- (x-5)2 B.y=- x2-5 C.y=- (x+5)2 D.y= (x+5)2 C 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象可能为(　　). B 课堂小结 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(h, 0)； 3.对称轴是直线x=h. 性质 与y=ax2的关系 平移规律： 左加右减. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $