精品解析：山东宁津县苗场中学2025-2026学年九年级下学期中考考前练兵数学试题

2025-2026年第三次练兵数学试题 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 6. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A. B. 或 C. D. 或 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当___时，代数式的值为0． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 13. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 14. 小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 15. 如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 18. 已知，如图，，． （1）用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，，求的长． 19. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据：） （1）当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； （2）如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 20. 在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． （1）当时，直线和双曲线交于，两点（点在点左侧），求，两点坐标； （2）求证：直线必经过点； （3）若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）当时，求函数值y的取值范围． （3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是_________． （4）已知A、B两点均在抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 23. 【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图1摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点顺时针旋转． （1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________； （2）【类比探究】 连接、，延长交所在直线于点，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段与线段的比值及的度数也是固定的．如图2，当正方形 旋转至正方形外侧且、、三点共线时． ①求线段与线段的比值及的度数； ②如图3，连接交于点，交于点，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第三次练兵数学试题 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设覆盖的区域的数为x，由数轴可知，根据该区域的数大于并小于，且为整数，即可求解． 【详解】解：设覆盖的区域的数为x，由数轴可知，根据该区域的数大于并小于，且为整数， 可得x的值为：， 覆盖的整数个数共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看到的图形为主视图，逐一判断即可． 【详解】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意； B、主视图为圆，不符合题意； C、主视图为等腰梯形，不符合题意； D、主视图为矩形，符合题意；   故选：D． 3. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意； C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 6. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 7. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图： ∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能， ∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：． 故选：C． 8. 如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 9. 已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程   解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当___时，代数式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件和二次根式有意义的条件，根据分子等于零，分母不等于零，二次根式被开方数非负求解即可． 【详解】解：由题意得：，且． 由得． 解得或． 由得． 因此． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 13. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 14. 小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【解析】 【分析】由图象得出小王走完全程1200米用了12分钟．爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家．进而求出各自的速度，再利用行程问题求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 15. 如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵，，，…，在直线上， ∴，，，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ； … ∴（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算法则逐步计算即可； （2）先将除法转化为乘法，因式分解约分后再计算分式减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：      17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135；见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 18. 已知，如图，，． （1）用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答． （2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图，连接 在中，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 19. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据：） （1）当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； （2）如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 【答案】（1），； （2）此时的投影宽度的长约为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再得到，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，易证四边形是矩形，求出，通过解直角三角形求出，，再解直角三角形求出；，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，依题意． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 答：摄像头的广角的度数约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 20. 在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． （1）当时，直线和双曲线交于，两点（点在点左侧），求，两点坐标； （2）求证：直线必经过点； （3）若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明：将代入直线， 即当时，恒成立． ∴ 直线必经过点． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入直线解析式，联立直线与反比例函数解析式，解方程组得交点坐标； （2）将点代入直线解析式验证等式成立，证明直线恒过该点； （3）联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用根的判别式小于0，求解的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，直线解析式为，且与双曲线交于两点． 联立直线与双曲线方程：， 消去得：， 两边同乘（）并整理：， 因式分解：， 解得，． 当时，；当时，． ∵点在点左侧， ∴，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立直线与双曲线方程：， 消去得：， 两边同乘（）并整理：． ∵ 直线与双曲线无交点， ∴ 该一元二次方程无实数根，且． ∴ ， 即， 因式分解：， 解得：． 故的取值范围是． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）当时，求函数值y的取值范围． （3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是_________． （4）已知A、B两点均在抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）m的值为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得抛物线的最小值，然后求得和时的函数值，即可求得结果； （3）求得函数值是7时的自变量的值，根据题意即可求得； （4）分四种情况讨论，根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 【小问1详解】 由题意，得，解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵，对称轴为直线， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 【小问3详解】 把代入得，， 解得， ∴当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是， 故答案为； 【小问4详解】 点、的坐标分别为、， 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键 23. 【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图1摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点顺时针旋转． （1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________； （2）【类比探究】 连接、，延长交所在直线于点，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段与线段的比值及的度数也是固定的．如图2，当正方形 旋转至正方形外侧且、、三点共线时． ①求线段与线段的比值及的度数； ②如图3，连接交于点，交于点，当，时，求的长． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得，，，证，推出线段相等；再利用角的代换证垂直； （2）①证,得到线段比值；利用相似三角形对应角及三角形内角和求角度； ②连接，先求正方形对角线，利用相似得，用、求、，最后由勾股定理求． 【小问1详解】 解： 四边形、是正方形， ，，， ， 即， 在和中： ， ， ， 延长交于，交于， 由得， ， ， ， 即． 【小问2详解】 解：①连接， 四边形是正方形， , ，， ， 即， 且， ， ， 设交于， ，， ， ． ②连接，如图3所示， ，正方形， ， 由①得, 即， ， ， 又， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $