第9讲 指数与指数函数·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦指数与指数函数核心考点，通过概念辨析、性质应用、实际建模及综合证明，系统整合指数运算、函数性质与数学建模，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|第5题|指数函数定义判断|从指数函数概念出发，强化定义中参数限制条件的理解| |性质应用|第3、6、8题|单调性、最值及方程有解问题|以指数函数单调性为核心，推导参数取值范围与函数最值关系| |实际建模|第7、11题|酒精含量衰减、人口预测|将实际问题抽象为指数模型，体现数学眼光观察与语言表达现实世界| |综合证明|第15、19题|奇偶性、单调性证明及中心对称|通过代数推理与逻辑论证，发展数学思维的严谨性与推理能力|

第9讲 指数与指数函数·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·南昌·一模）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ 　　） 2 4 4 7 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 3.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·南京名校·一模）已知，，则（ 　　） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 5.函数是指数函数，则（ 　　） A. 或 B. C. D. 且 6.（2025·上进联考·4月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（ 　　） A. B. C. D. 8.已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则（ 　　） A. 或 B. C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数，若实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ 　　） A. B. C. D. 11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ 　　） A. 当，则这期间人口数呈下降趋势 B. 当，则这期间人口数呈摆动变化 C. 当，时，的最小值为 D. 当，时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 13.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 14.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数是定义域为的奇函数. （1） 求实数的值，并证明在上单调递增； （2） 已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 16.（15分）已知函数. （1） 判断函数的奇偶性与单调性； （2） 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17.（15分）已知函数. （1） 若函数的定义域为，求实数的值； （2） 在（1）的条件下，求关于的不等式的解集. 18.（17分）（2025·黄冈·9月调研）已知函数是偶函数． （1） 求的值； （2） 若，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 19.（17分）已知函数. （1） 证明：函数的图象关于点中心对称； （2） 求不等式的解集. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 指数与指数函数 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B D A B C 6 7 8 9 10 D B A ACD AC 11 12 13 14 15 AC （1），证明见解析 （2） 16 17 18 19 （1）奇函数，单调递增 （2） （1） （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2） 1.已知 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 【点拨】本题主要涉及指数幂的化简求值，利用同底数幂的除法与幂的乘方运算法则，结合平方差公式即可求得结果. 2.（2026·南昌·一模）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【解析】对于A，∵，，∴经验回归直线必过点，A错误； 对于B，∵经验回归方程为过点，∴，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值，∴残差为，D正确. 【点拨】本题考查线性回归方程的性质及残差的计算.根据样本中心点必在经验回归直线上求出参数，再逐项验证即可. 3.若关于的方程有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方程有解， ∴有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， ∴. 【点拨】处理指数方程有解问题，通常利用换元法转化为一元二次方程在特定区间上有解的问题，再通过分离参数或数形结合求解. 4.（2026·南京名校·一模）已知，，则 A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】由于，∴，因此， 又∵，因此，即， ∴. 【点拨】比较指数大小，可通过放缩法与构造指数函数单调性相结合.利用勾股数的特征构造不等式是突破口. 5.函数是指数函数，则 A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知，同时，且，∴解得. 【点拨】严格把握指数函数的定义要求，其系数必须为，且底数且. 6.（2025·上进联考·4月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意得在区间上单调递增，恒成立，该函数本身即为增函数，无特殊限制.但原卷题目存在录入偏差，若原题为，则在区间上单调递增，所以.结合选项，本题按处理，解得. 【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则.外层指数函数底数大于1为增函数，故内层函数在给定区间上必须单调递增. 7.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， ∵，∴， ∴他至少要经过2小时后才能驾驶. 【点拨】将实际问题转化为指数不等式模型，利用对数运算性质及已知近似值进行估算是解答此类应用题的常规路径. 8.已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则 A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】当时，函数在内单调递增， 此时函数的最大值为，最小值为， 由题意得，解得，则， 此时； 当时，函数在内单调递减， 此时函数的最大值为，最小值为， 由题意得，解得，则， 此时. 【点拨】底数的取值范围未知时，必须对和两种情况进行分类讨论，分别求出解析式后再代入求值. 9.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数，若实数，满足，则 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】已知，，令， 则，即， 若，则，，∵，∴，则，，此时存在实数，满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项A正确； 若，，则满足，但，选项B错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项C正确； 若时，，选项D错误. 【点拨】本题综合考查指数函数的图象与性质，通过换元法将问题转化为二次函数根的分布，结合极限思想与反例构造可有效判断各选项. 10.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则 A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】若函数的图象经过第二、三、四象限，则函数单调递减，∴，∴， 由题意可知，解得，∴，. 【点拨】根据函数图象经过的象限，可直接判断出函数的单调性及在轴上的截距符号，进而确定参数的取值范围. 11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则 A. 当，则这期间人口数呈下降趋势 B. 当，则这期间人口数呈摆动变化 C. 当，时，的最小值为 D. 当，时，的最小值为 【答案】AC 【解析】，由指数函数的性质可知：是关于的单调递减函数， 即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； ，，所以，所以， ，所以的最小值为，故C正确； ，，所以，所以， ，所以的最小值为，故D不正确. 【点拨】将实际问题转化为指数型函数模型，利用指数函数的单调性及对数的估算即可判断. 12.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由得，则； 由得，则，. ∴. 【点拨】处理连等式问题，常利用对数与指数的互化，将指数式转化为对数式，再结合对数的运算性质求值. 13.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数在上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 【点拨】解指数不等式的核心是“化同底”，然后利用指数函数的单调性转化为代数不等式求解. 14.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵的定义域为， ∴对任意恒成立， 即恒成立， 即对任意恒成立， ∴，则. 【点拨】偶次根式有意义的条件是被开方数非负，结合指数函数的单调性，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解. 15.（13分）已知函数是定义域为的奇函数. （1） 求实数的值，并证明在上单调递增； （2） 已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】（1） 因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 2 分 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 4 分 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. 7 分 （2） 由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， 9 分 ∴， 因为，则. 10 分 当时，则有，解得； 11 分 当时，则有，此时. 12 分 综上所述，实数的取值范围是. 13 分 【点拨】判断或证明函数的单调性，通常利用定义法作差比较.处理不等式恒成立问题，常通过分离变量或利用函数的最值进行转化. 16.（15分）已知函数. （1） 判断函数的奇偶性与单调性； （2） 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，单调递增 （2） 【解析】（1） 由函数， ∵均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数， 3 分 且满足，所以函数为奇函数. 6 分 （2） 因为，即， 9 分 又是在上的单调递增函数， 可得恒成立，即在上恒成立， 12 分 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 15 分 【点拨】利用奇偶性与单调性解不等式，关键是将不等式转化为的形式，再利用单调性脱去函数符号“”. 17.（15分）已知函数. （1） 若函数的定义域为，求实数的值； （2） 在（1）的条件下，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 2 分 所以，，由可得， 4 分 因为函数的定义域为，所以，，解得. 7 分 （2） 由（1）知，，则， 10 分 由可得， 12 分 解得. 因此，不等式的解集为. 15 分 【点拨】根据函数的定义域求参数，需分析分母不为零的条件.解指数不等式时，若底数不相同且无法化为同底，可直接利用对数的定义求解.注：原卷解析中计算时存在失误，正确应为，从而解得. 18.（17分）（2025·黄冈·9月调研）已知函数是偶函数． （1） 求的值； （2） 若，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ∵是偶函数，∴，即， 2 分 即，而， 5 分 ∴． 7 分 （2） ∵，∴， 9 分 ∴，又∵，∴， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当，，∴， 12 分 ∵，∴， ∴，令，∴，， 15 分 而在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴的取值范围是． 17 分 【点拨】利用偶函数的定义求出参数后，通过换元法将指数函数转化为对勾函数求值域，再利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数最值问题. 19.（17分）已知函数. （1） 证明：函数的图象关于点中心对称； （2） 求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1） 依题意，，， 2 分 故， 6 分 故函数的图象关于点中心对称. 8 分 （2） 当时，，，单调递减， 故在上单调递减，且， 11 分 函数的图象关于中心对称，在上单调递减，， 13 分 而，故或或， 15 分 解得或，故所求不等式的解集为. 17 分 【点拨】利用函数图象的中心对称性与单调性解抽象不等式，需根据对称中心将定义域划分为两个区间，结合函数值与对称中心纵坐标的大小关系分类讨论. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $