第9讲 指数与指数函数 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦指数与指数函数，以考点-考法分层架构整合运算、图像性质、恒成立及综合问题，通过模拟题强化应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数运算及方程不等式|12题（含4道模拟题）|运算化简、参数求解、大小比较|从幂运算基础到方程不等式求解，构建代数变形能力链| |指数函数图像及性质|10题（含5道模拟题）|图像识别、单调性应用、实际建模|结合图像直观与性质分析，培养抽象能力与模型观念| |恒成立问题|3题|参数范围求解|渗透转化思想，强化推理意识| |综合问题|9题（含3道模拟题）|奇偶性综合、构造函数|整合函数性质与代数推理，提升综合应用能力|

第9讲 指数与指数函数 · 分类练习 考点一：指数运算及指数方程、指数不等式 考法1：指数幂的运算与化简 1.已知（ 　　） A. B. C. D. 2.下列结论中，正确的是（ 　　） A. 设，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 3.（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 考法2：解指数方程与求参数 5.（2026·南昌·一模）若，则所在的范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·优创名校·4月联考）已知为虚数单位，，，则（ 　　） A. B. C. D. 7.甲、乙两人解关于的方程，甲写错了常数，得到的根为或，乙写错了常数，得到的根为或，则原方程的根是（ 　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数，若实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·合肥一六八·一模）若非零实数满足且，则的值为＿＿＿＿＿＿. 考法3：解指数不等式与比较大小 10.（2026·南京六合·一模）已知，，则（ 　　） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 11.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 12.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 考点二：指数函数的图像及性质 考法4：指数函数的概念与图像识别 13.函数是指数函数，则（ 　　） A. 或 B. C. D. 且 14.函数的大致图像如图，则实数的取值只可能是（ 　　） A. B. C. D. 15.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ 　　） A. B. C. D. 16.（多选）函数的图象可能为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：指数函数的性质及应用 17.（2025·上进联考·4月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 18.（2026·郑州·二模）已知，则的值所在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 19.（多选）已知函数，则（ 　　） A. 函数是增函数 B. 曲线关于对称 C. 函数的值域为 D. 曲线有且仅有两条斜率为的切线 20.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法6：指数函数模型的实际应用 21.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（ 　　） A. B. C. D. 22.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ 　　） A. 当，则这期间人口数呈下降趋势 B. 当，则这期间人口数呈摆动变化 C. 当，时，的最小值为 D. 当，时，的最小值为 考点三：指数函数中的恒成立问题 考法7：指数不等式恒成立求参数范围 23.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 24.设，当时，恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 25.已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点四：指数函数的综合问题 考法8：指数函数与奇偶性、单调性的综合 26.已知函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 27.设. 若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 28.已知函数的图象关于坐标原点对称，则＿＿＿＿＿＿. 29.已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值，并证明在上单调递增； （2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 考法9：构造函数及其他综合应用 30.（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（ 　　） A. B. C. D. 31.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿. 32.（2025·河北五个一·4月联考）若实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 指数与指数函数 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B B B C 6 7 8 9 10 D D ACD B 11 12 13 14 15 C C AC 16 17 18 19 20 ABD D D AB 21 22 23 24 25 B AC 26 27 28 29 30 B （1），证明见解析 （2） BC 31 32 1.已知 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 【点拨】运用指数幂的运算法则，先将底数统一为，再利用积的乘方与平方差公式进行化简. 2.下列结论中，正确的是 A. 设，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于C，，，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 【点拨】处理偶次根式化简时需注意绝对值符号，分数指数幂运算严格遵循同底数幂相乘指数相加的法则. 3. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 【点拨】负分数指数幂转化为正分数指数幂的倒数，偶次根式开方需判断被开方数的正负. 4.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，得，则. 由，得，则. 所以. 【点拨】将指数式转化为对数式，利用对数的换底公式或倒数关系，将所求代数式转化为同底对数求和. 5.（2026·南昌·一模）若，则所在的范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，且，所以. 又因为指数函数在上单调递增，所以，即. 【点拨】利用指数函数的单调性，通过寻找与目标值相近的已知指数幂的值，从而确定指数的范围. 6.（2025·优创名校·4月联考）已知为虚数单位，，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， ， 所以， 则，故. 【点拨】先分别求出复数的模与虚数次幂的值，再利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质求出整体指数. 7.甲、乙两人解关于的方程，甲写错了常数，得到的根为或，乙写错了常数，得到的根为或，则原方程的根是 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】令，则方程可化为， 甲写错了常数，所以和是方程的两根，所以， 乙写错了常数，所以和是方程的两根，所以， 则可得方程，解得，， 所以原方程的根是或. 【点拨】通过换元法将指数方程转化为一元二次方程，结合韦达定理分别求出正确的系数，再解原方程. 8.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数，若实数，满足，则 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】已知，，令，， 则，即， 若，则，，，，则，，此时存在实数，满足， 假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项A正确； 若，，则满足，但，选项B错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项C正确； 若，时，，选项D错误. 【点拨】利用换元法将函数转化为二次函数，通过数形结合与极限思想判断参数的取值范围. 9.（2026·合肥一六八·一模）若非零实数满足且，则的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，， ， ， . 【点拨】将指数式转化为对数式，代入已知条件进行对数运算，利用对数的换底公式求解. 10.（2026·南京六合·一模）已知，，则 A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】由于，所以，因此， 又因为，因此，即， 所以. 【点拨】利用指数函数的单调性，通过构造同底数指数幂的不等关系，比较指数的大小. 11.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数在上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 【点拨】将不等式两边化为同底数的指数幂，利用指数函数的单调性转化为代数不等式求解. 12.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，可得. 令， 因为，，均为上单调递减函数， 则在上单调递减，且， ， ， 故不等式的解集为. 【点拨】同除以最高底数幂，构造单调递减函数，利用函数的单调性解不等式. 13.函数是指数函数，则 A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 【点拨】严格根据指数函数的定义，即系数为且底数大于且不等于列方程组求解. 14.函数的大致图像如图，则实数的取值只可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若，为增函数， 且，，，与图象不符， 若，为减函数， 且，，，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以. 【点拨】结合图象的渐近线特征和零点位置，分析指数函数的单调性和平移情况. 15.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则 A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】若函数的图象经过第二、三、四象限，则函数单调递减， 所以，所以， 由题意可知，解得， 所以，. 【点拨】根据函数图象经过的象限，判断函数的单调性及在轴上的截距符号. 16.（多选）函数的图象可能为 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项. 当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 【点拨】通过对参数分类讨论，结合函数的奇偶性、单调性及特殊点进行图象识别. 17.（2025·上进联考·4月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意得在区间上单调递增，所以. 【点拨】利用复合函数的单调性“同增异减”原则，转化为内层绝对值函数的单调性问题. 18.（2026·郑州·二模）已知，则的值所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数单调递增，所以只需，即可得. 比较与：. 比较与：. 比较与：，，因为，即，所以. 比较与：，，因为，即，所以. 综上，，所以. 【点拨】利用指数函数的单调性，通过两边同时乘方比较底数大小，从而确定指数所在的区间. 19.（多选）已知函数，则 A. 函数是增函数 B. 曲线关于对称 C. 函数的值域为 D. 曲线有且仅有两条斜率为的切线 【答案】AB 【解析】根据题意可得，易知是减函数， 所以是增函数，即A正确； 由题意可得，所以， 即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确； 由指数函数值域可得，所以，即， 所以函数的值域为，所以C错误； 易知，令，整理可得， 令，即， 易知，又因为，即， 所以，即，因此； 即关于的一元二次方程无实数根； 所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误. 【点拨】分离常数法判断函数单调性与值域，利用判断中心对称性，借助导数研究切线斜率. 20.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】的定义域为， 对任意恒成立， 即恒成立， 即对任意恒成立， ，则. 【点拨】将定义域为转化为根号下式子恒大于等于，进而转化为二次函数恒成立问题. 21.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过小时后才能驾驶. 【点拨】根据题意建立指数衰减模型，利用对数运算求解指数不等式. 22.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则 A. 当，则这期间人口数呈下降趋势 B. 当，则这期间人口数呈摆动变化 C. 当，时，的最小值为 D. 当，时，的最小值为 【答案】AC 【解析】，，由指数函数的性质可知：是关于的单调递减函数， 即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； ，，所以，所以， ，所以的最小值为，故C正确； ，，所以，所以， ，所以的最小值为，故D不正确. 【点拨】结合指数函数的单调性分析人口变化趋势，通过解指数不等式求出时间间隔的最小值. 23.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，，， 因为在区间上是增函数， 所以. 因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数的取值范围为. 【点拨】通过换元将指数不等式恒成立问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 24.设，当时，恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由函数， ，均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数， 且满足，所以函数为奇函数， 因为，即， 可得恒成立，即在上恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【点拨】先判断函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式恒成立问题求解. 25.已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设，， 则，对于恒成立， 即，对于恒成立， ， 即， 解得或， 即或， 解得或， 综上，的取值范围为. 【点拨】采用分离参数法，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用基本不等式或单调性求解. 26.已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，，， 故， 故函数的图象关于中心对称， 当时，，，单调递减， 故在上单调递减，且， 函数的图象关于中心对称，在上单调递减，， 而，故或或， 解得或，故所求不等式的解集为. 【点拨】通过代数变形发现函数的对称中心，结合单调性将不等式转化为分段的自变量不等式组求解. 27.设. 若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 【点拨】根据函数的定义域求出参数，再将不等式转化为简单的指数不等式进行求解. 28.已知函数的图象关于坐标原点对称，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】依题意函数是一个奇函数， 又，所以， 所以定义域为， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得. 又，所以， 所以，即， 所以，所以. 【点拨】利用奇函数的定义域关于原点对称求出参数，再利用恒成立求出参数. 29.已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值，并证明在上单调递增； （2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【点拨】利用奇函数在原点有定义必有求参数，再用定义法证明单调性；将恒成立问题转化为最值问题，结合底数分类讨论解指数不等式. 30.（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 【点拨】赋予代数式几何意义，将其转化为两点连线的斜率，结合函数图象直观求解. 31.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为，化简得. 所以，又， 构造函数， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在上为单调递增函数， 由，， 解得，， . 【点拨】通过代数变形构造同构式，利用函数的单调性得出变量之间的等量关系. 32.（2025·河北五个一·4月联考）若实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，可得，则， 则. 令，则. 当时，，当时，， 从而的最小值为， 即的最小值为. 【点拨】将双变量问题转化为单变量函数最值问题，利用导数研究函数的单调性并求最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $