第2章 第7讲 指数函数（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦指数函数性质应用，以分层训练构建"定义辨析-性质迁移-综合创新"的解题体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|9题|定义法判定函数类型、单调性比较大小、特殊点验证图象|从指数函数定义出发，通过解析式与图象特征建立性质认知，形成"定义→性质→应用"的逻辑链| |能力提升|4题|换元法转化二次函数、奇偶性判定、参数分类讨论|深化性质应用，结合复合函数、不等式恒成立问题，构建"性质迁移→复杂问题分解"的解题路径| |拓广探索|2题|新定义问题转化、构造函数法|拓展函数性质的交叉应用，通过数学建模实现知识的综合创新，体现数学思维的严谨性与灵活性|

[对应学生用书P321] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共28分，本试卷共98分． A级　基础过关 1．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．所以a＝2.故选D. 答案　D 2．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　根据题意，函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)，当x＝－1时，必有y＝0，即函数经过点(－1，0)，排除A，B，C.故选D. 答案　D 3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析　因为y＝0.4x为减函数，所以0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，又20.2＞1，所以a＞b＞c.故选A. 答案　A 4．(多选)(2025·广东广雅中学期末)已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．ab>1 B．a＋b>1 C．ba>1 D．2b－a<1 解析　由图象可知，函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)在R上单调递增，则a>1，且当x＝0时，y＝1－b∈(0，1)，可得0<b<1. ab>a0＝1，A正确；a＋b>a>1，B正确； ba<b0＝1，C错误；由题意可知，0<b<1<a，则b－a<0，所以2b－a<20＝1，D正确． 答案　ABD 5．(多选)已知函数，则下列说法正确的是(　　) A．定义域为R B．值域为(0，2] C．在[－2，＋∞)上单调递增 D．在[－2，＋∞)上单调递减 解析　函数的定义域为R，故A正确；因为x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，所以0＜，故函数的值域为(0，2]，故B正确；因为y＝u在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，所以函数在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确．故选ABD. 答案　ABD 6．(多选)已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 解析　f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A正确；f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；f(x)＝－2x在R上单调递减，故C错误；因为f(x)是R上的减函数，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以f(x)的值域是(－∞，＋∞)，因此对任意的实数a，f(x)＝a都有解，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 7．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a＝____________． 解析　若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f＝a-1＝2，得a＝，故a＝2或. 答案　2或 8．(2025·江西九江一中期末)已知函数f(x)＝是其定义域上的奇函数，则a＝____________． 解析　因为函数f(x)＝是其定义域上的奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0， 即＋＝0，整理得(a－1)(2x＋2－x－2)＝0，又2x＋2－x－2不恒为0，则a－1＝0，即a＝1. 此时f(x)＝是定义域为R的奇函数． 答案　1 9．(13分)已知函数f(x)＝4x－2·2x+1＋a，其中x∈[0，3]. (1)若f(x)的最小值为1，求a的值； (2)若存在x∈[0，3]，使f(x)≥33成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为x∈[0，3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4， 当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5. (2)令t＝2x∈[1，8]，则y＝t2－4t＋a， 由f(x)≥33可得，a≥－t2＋4t＋33， 令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1，2)上单调递增，在(2，8]上单调递减， 因为g(1)＝36，g(8)＝1， 所以g(t)min＝g(8)＝1，所以a≥1. 所以实数a的取值范围为[1，＋∞). B级　能力提升 10．(多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则(　　) A．函数f(x)在R上是增函数 B．函数f(x)g(x)是奇函数 C．函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称 D．g(2x)＝[f(x)]2＋[g(x)]2 解析　对于A，因为y＝ex在R上是增函数，y＝－e－x在R上是增函数，所以f(x)＝在R上是增函数，故A正确；对于B，因为f(x)g(x)＝·＝，所以f(－x)g(－x)＝＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，而g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，[f(x)]2＋[g(x)]2＝＋＝＋＝＝g(2x)，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 11．(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　) A．a＜b B．若a＜0，则b＜a＜0 C．|a|＜|b| D．若0＜a＜log32，则ab＜ba 解析　如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜b或者b＜a＜0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0＜a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D正确． 答案　BCD 12．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是7，则a＝____________． 解析　设t＝ax，又x∈[－1，1]，若a＞1，则t∈，函数y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，对称轴为t＝－1.则t＝a，即x＝1时，ymax＝(a＋1)2－2＝7，解得a＝2或a＝－4(舍)；若0＜a＜1，则t∈，函数y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，对称轴为t＝－1.则t＝，即x＝－1时，ymax＝－2＝7，解得a＝或a＝－(舍).综上，a＝或2. 答案　或2 13．(15分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)求函数f(x)的解析式； (2)若不等式x＋x－m≥0在区间(－∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题意把A(1，6)，B(3，24)分别代入f(x)＝b·ax，得结合a>0且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知x＋x－m≥0可化为x＋x－m≥0，则x＋x≥m在(－∞，0]上恒成立，则y＝＋在(－∞，0]上的最小值不小于m. 由指数函数的单调性可知y＝＋在(－∞，0]上为减函数，所以当x＝0时，y＝＋有最小值2，故m≤2，即m的取值范围为(－∞，2]. C级　拓广探索 14．(新定义)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，0) D．(－∞，1] 解析　因为f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得－a－1＝a＋1，所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解，所以方程＝a在R上有解，又ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤a＜0，所以a的取值范围是[－1，0).故选C. 答案　C 15．正实数m，n满足e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，则＋的最小值为____________． 解析　由e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，得e1-2m＋(1－2m)＝en-1＋(n－1)，令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m＞0，n＞0，因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即m＝n＝时等号成立，所以当m＝n＝时，＋取得最小值. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $