2026年福建省福州第一中学6月中考模拟数学试题

福州一中2025−2026学年第二学期期末模拟考试 初三数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示零件的左视图是（ ） A． B． C． D． 3．地球上的水的总储量约为，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的，即约为，因此我们要节约用水．请将用科学记数法表示是（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（ ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 6．如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为： A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．下列说法中错误的是（ ） A．在中，，则是直角三角形 B．在中，，则是直角三角形 C．在中，，则是直角三角形 D．在中，，，则是直角三角形 9．如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11．若二次根式有意义，则的取值范围是________． 12．因式分解：________． 13．如图，已知，且，，若，则的面积为________． 14．小明训练引体向上，记录了次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的中位数是________． 15．已知的半径为，是的弦，点是上异于点、的一点，若，则的大小为________． 16．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，点在的边上，点在边的延长线上，且，求证：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）某中学开展“国庆周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，将调查结果统计后绘制成如图和图所示的不完整统计图． （1）把条形统计图补充完整； （2）若该学校有学生人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （3）某班级名男同学和名女同学都完整观看了阅兵盛典，要从这人中任选人写观后感在班级交流，请用列表法或画树状图法，求选出的人恰好是名男同学和名女同学的概率． 21．（8分）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图），并测量了相关数据进行研究．如图所示，小明投篮的出手点在地面的正投影为点，以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点离地面高度为米，篮筐中心到点的水平距离为米，离地面高度为米，篮球运动路线的最高点到点的水平距离为米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果球员小亮准备站在点与点之间的点（与点、点不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 22．（10分）如图，在中，，，． （1）在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 23．（10分）实数、、满足，，且． （1）若，当时，求及的值； （2）是否存在使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，弹簧测力计A的示数为________，弹簧测力计B的示数为________； （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为．求，的值． 25．（14分）如图，是等边的外接圆，，点是外一点，分别交、于点、，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如图，点是上的动点，点在内，，且． （）当，且时，求的值； （）如图，当过点时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $福州一中2025-2026学年第二学期期末模拟考试参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D D A A C B 0 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11.x≥2；12.2(x+2)(x-2): 13.4:14.7.5: 15.60°或120°； 16.2<m<3. 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上) 17.(8分)解：原式=1+5-1+2×5+-3到 =-3 18.(8分)证明：，在口ABCD中AB=CD,AB∥DC, ∠BAF=∠D. 又：∠ABF=∠DCE, .△ABF≌△DCE, :AF DE R E C 19.(8分)解：原式= x-1_1). 3x2-3x x-1x-1x2-4x+4 =x-1-13x(x-1 x-1(x-2)2 -x-2.3xx- x-1(x-2)2 =3r x-2 当x=2+√5时，原式= 2+-25+3. 2+3-2 20.(8分)(1)解：如图所示； 人数 40 62282406 28 8 看完整看一看一没看类别 多半少半 图1 (2)解：1200× =60(人) 40+28+8+4 答：该校没观看阅兵盛典的学生人数为60人. (3)解：列表如下： 男 女 女 女 (男， (男， 男 (男，女) 女) 女) （女， （女， (女， 女 男) 女) 女) (女， (女， 女 (女，女) 男) 女) （女， (女， 女 (女，女) 男) 女) 由表可知一共有12种等可能性的结果，其中恰好是1名男同学和1名女同学的有6种， 一恰好是1名男同学和1名女同学的概率是6=1 122 21.(8分)解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k(a≠0)， ,由题可知：抛物线过点P(0,1.75)、A5,3), 9a+k=1.75 4a+k=3 解得 a=- 4 k=4 桃物线份解行武为=-3+4： 1 (2)设0M=x,此时篮球高度为y=-4c-3》+4, 要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于5米，就能拦截成功. 16 当-明+4=瓷，解得x=或号 9 16 “抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,最高点为4>55 16 根据撒物线的函数值v自变量x的交化趋势可知，当x时，篮球高度不高于分米 16 当3 工<时，球高度高千药米：当之9时，篮球温度不高干约米 16 2 16 ,小亮站在点0与点B之间，即0<x<5 当0<x≤或？sx<5时，篮球高度不超过5米，小亮可以成功拦截， Γ22 16 :.0<OMs3或9≤OM<5. 22 22.(10分)解：(1)如图所示，点M即为所求. (2)作MD⊥AB、ME⊥BC、CF⊥BM,垂足分别为D、E、F, 1 设点B到4C的距离为h,则SaM-2AM.h,SABCM=2CM-h, S△ABM= 1 AM.h AM SABCM 1CM.h CM :ABCM=AM·BC, AB AM ∴BC=CM' SAABM=AB SABCM BC SABM)AB·MD,SABCM= LBC.ME, S△4BM= 1 AB.MD AB·MD SABCM BC.ME BC·ME 2 ABAB·MD BCBC.ME :MD =ME. 又：MD⊥AB,ME⊥BC, BM平分LABC. :∠ABC=60°， ∴LABM=∠CBM=)∠ABC=30. 2 :∠ACB=105°， ∠A=15°， ∠BMC=∠A+∠ABM=45°. :BC=6,CF⊥BM, CF-8c=3. :BF=33,FM =CF=3, .BM BF FM =33+3. A 23.（10分)解：(1)：a2-am+m2=2m+4,b2-bm+m2=2m+4,且a≠b a、b是关于x的方程x2-mx+m2-2m-4=0的两个不相等的实数根 x2-2x-4=0 解得x=1+V5或x=1-√5 ax b a=1+5,b=1-V5. (2)存在 理由：由(1)得a、b是关于x的方程x2-mx+m2-2m-4=0的两个不相等的实数根 .△=(-m)2-4(m2-2m-4)>0 解得音<州<4 :a+b=m,ab=m2-2m-4,a2+b2=3 .(a+b)2-2ab=m2-2(m2-2m-4)=3 解得m=-1或m=5 又- 3<m<4 m=-1. 24.(12分)(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N: (2)解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=x+b(k≠0)， 6k+b=4 k=-0.3 将(6,4)和10,2.8)分别代入F拉力=kx+b,得 10k+6=2.8’解得 b=5.8 ·当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.3x+5.8; (3)解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N,当x=7时，F拉力=0.3×7+5.8=3.7N) 4-3.7=0.3N m=0.3(N 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=kx+6(飞≠0)， 将(6,4到和(10,2.5)分别代入F力=kx+,得 6k+b=4 0%+6=2.5’解得 k1=-0.375 b=6.25 .当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.375x+6.25; .当-0.375x+6.25=3.7时，x=6.8cm), ∴.n=x-6=0.8(cm 25.(14分)(1)证明：过点B作直径BH,连接AH、BE, .PB2=PA.PE P丽 PB PE 又：∠BPE=∠APB △PBE∽△PAB .∠PBE=∠PAB :BH是⊙O的直径 ∠BAH=90° :∠BAP+LEAH=90 :LPBE+∠EBH=90° ∠HBP=90 .HB⊥BP 又：BH是⊙O的直径 .BP是⊙O的切线. (2)解：分别过点D、G作DM⊥AC、GN⊥BD,垂足分别为M、N .在等边△4BC中，∠C=60°，DC=3V5, .DM=DC.sin60- 9 :∠DFC=45 ·DF=V2DM= 9V2 ∠FDG=60°，且SADFG= 93 2 DG-Dp.sin60°-9y5 2 DG·DF=18 DG=22 :∠CDF=180°-∠DFC-∠C=75° ∠BDG=180°-∠CDF-∠FDG=45 .GN=DG.sin45°=2 BC=AB=12 :BD BC-CD=12-33 5aeD6v12-35. (3)解：过点D作DQ⊥AC,垂足为Q,连接G0 :AB=AC,OB=OC,AP过点O 2CD=C4B=0,cD=号8c=6 .∠ADQ=90°-∠CAD=60°，AD=6N3 :.OD=23,Do=CD.sin60=33, ..OD.DO=18 :DG·DF=18 .DG·DF=OD·Dg DG DO DO DF :∠FDG=60° .∠GDO=∠GDF-∠ODF=∠ADQ-∠ODF=∠QDF .△GDO△QDF .∠DG0=∠DQF=90 ∴.点G在以DO为直径的圆上 取OD的中点I,连接BI、G1 G1=D1=号D0=5,8D=CD=6 BI=BD2+D12=39 BG≥B1-G1=V39-V5 :BG的最小值为√39-√5. F Q 0 E