2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷一

**基本信息** 该试卷全面覆盖人教A版必修第二册核心知识，通过复数运算、立体几何、解三角形、统计概率、向量等模块，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，如解答题结合垃圾分类宣传周情境，体现数学与现实的联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数旋转、立体几何截面、分层抽样等|基础题（如分层抽样）与能力题（向量四心）结合，梯度合理| |多选题|3/18|复数性质、概率事件关系、三棱锥性质|考查知识辨析，如复数模与共轭的关系判断| |填空题|3/15|解三角形面积最值、独立事件概率、平面向量|设置动态最值问题（如线段上动点向量模最小值）| |解答题|5/77|复数几何意义、统计直方图、立体几何探究、解三角形综合|注重综合性与探究性，如立体几何中存在性问题，解三角形面积范围与周长最小化，培养逻辑推理与创新意识|

《人教A版必修第二册 高一下学期期末考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D C C ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． 2．C 【分析】作的高 连接，利用截面三角形的面积，求出底面棱长以及侧棱长，利用棱柱侧面积公式即可求解. 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 3．B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理得， 所以， 故. 4．C 【详解】因为，所以，所以． 5．D 【分析】根据线线和面面的位置关系，结合充分，必要条件，判断选项. 【详解】若，，，则与平行或异面，所以不是的充分条件， 反过来，若，，，则或相交，所以也不是的必要条件. 所以 “”是“”的既不充分也不必要条件. 6．D 【详解】， ． 7．C 【分析】由数量积和模的坐标计算公式及夹角公式计算可得的值. 【详解】由， 可得，，， 所以，解得， 由可得，故. 8．C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 9．ABC 【分析】设，，且，应用复数的乘除法、共轭复数的定义及模的概念依次判断A、B，应用共轭复数的运算及特殊值法判断C、D. 【详解】设，，且，则，， 所以， ，即，A对， ， ， 所以，B对， 由，且，则，故，C对， 若，满足，此时不满足，D错. 10．ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 11．ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质、线面角的定义，结合等边三角形的性质、三棱锥的体积公式、球的性质、球的表面积公式逐一判断即可. 【详解】A：设的中点为，连接， 因为，均是边长为4的等边三角形， 所以， 所以有， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且， 所以由勾股定理可得：， 于是是等边三角形， 所以三棱锥的体积为，所以本选项说法不正确； C：设点在平面的射影为，连接， 所以是直线与平面所成的角， 由上可知三棱锥的体积为， 所以有， ，所以本选项说法正确； D：设点在平面的射影为，连接， 因为， 所以点是的外心，设三棱锥外接球的球心为，显然点在上， 在中，由余弦定理，得， 于是得， 由上可知三棱锥的体积为， 所以， 由正弦定理，得， 设三棱锥外接球的半径为， 在中，由勾股定理，得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，所以本选项说法正确. 12． 【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【详解】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 13．/ 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 14． / 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）先化简复数，根据第一象限点的实部、虚部均大于0，列不等式组解得的范围； （2）先求，再计算并求其模，转化为二次函数求最小值. 【详解】（1）， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. （2）由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 16．(1)， (2)不存在 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】（1）由， 则，得. 即，所以， 所以； （2）在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 17．(1) (2) (3)中位数为，平均数为 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. （2）由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. （3）由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 18．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面. 【详解】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 19．(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修第二册 高一下学期期末考试模拟试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 2．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 3．在中，已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 5．已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 11．在三棱锥中，，均是边长为4的等边三角形，且，则（     ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 13．已知事件与事件相互独立，如果，，________． 14．在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分）设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 16．（本小题满分15分）已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 17．（本小题满分15分）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $