精品解析：陕西西安市高新第一学校2025-2026学年下学期八年级第二次限时训练数学试题

八年级限时训练数学试题 一、选择题（共8小题，3*8=24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 2. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ，即， 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 4. 如图，的坐标为若将线段平移至为中点，平移后的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的坐标求出平移方式，再根据平移方式求出对应点坐标即可． 【详解】解：∵将线段平移至，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴的对应点坐标为，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，正确判断出平移方式是解题的关键． 5. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据中位线定理，得到，，作，得到，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A 6. 如图，一次函数和的图象分别与x轴交于点、，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知y=k1x+b1＞0的解集和y=kx+b＞0的解集，即可确定不等式组的解集． 【详解】解：一次函数和的图象分别与x轴交于点、， 根据图象可知，的解集为：，的解集为：， ∴不等式组的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，分别表示出慢马和快马所需的时间，进而根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设规定时间为天，则可列方程为 故选：B． 8. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】添加辅助线证得四边形是矩形，四边形是正方形，由，得到，再证得，得，是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，3*6=18） 9. 在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点O对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是解题的关键． 10. 若关于的方程有增根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将原分式方程化为整式方程，根据方程有增根求解出增根的值，再把增根代入化简后的整式方程中去即可求m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以（x+1）（x-1），得： x（x+1）+m（x-1）=1， 整理得：x2+（m+1）x-1-m=0 ①， ∵分式方程有增根，即（x+1）（x-1）=0，得： x= -1或1． 当x= -1时，代入方程①中，得m=； 当x=1时，代入方程①中，m无解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知参数的值． 11. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 12. 如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用中点的性质得出，求矩形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 13. 如图，，，，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作，且，连接，，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：，即． 14. ，，，点为的中点，、分别为、上的点．，求的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由直角三角形性质，得，，为中点，故．设，过作于，由得，再用勾股定理算出，进而得到．在中，，配方化简即可得到最小值为，则可求出的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∵D是中点， ∴， 设， ∴，， 过点E作于G，如图， ， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴当时， 此时的值最小，即最小， ∴ 解得． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，把不等式组的解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 图略． 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）； （2）原方程无解． 【解析】 【分析】（1）先将原方程展开整理，化为一元二次方程的一般形式，再用一元二次方程的求根公式求解． （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后检验，判断原方程是否有解． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，， ∴是增根，分式方程无解． 17. 因式分解 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则． 19. （尺规作图）如图，请在边，，上分别确定点，，，使得四边形为菱形，请作出菱形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析． 【解析】 【分析】作∠CAB的角平分线交BC于点N，作线段AN的垂直平分线交AB于点M，交AC于点P，连接NP，NM，四边形AMNP即为所求． 【详解】如图所示，四边形AMNP即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了菱形的性质与判定，角的平分线作法，线段的垂直平分线作法．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出，并写出点的坐标_______； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标_______． 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移规律找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答． （2）根据旋转性质找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 点的坐标为． 故答案为：． 21. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 【答案】（1）时，四边形是矩形 （2）不存在，某一时刻t，使四边形使菱形，当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及勾股定理解三角形． （1）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）过作于N，根据勾股定理得，当时，四边形为平行四边形，进而可得，可知不存在，某一时刻t，使四边形是菱形，设Q的速度为，根据当时，四边形是平行四边形，得到，再根据当时，是菱形，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，， 当时四边形是矩形． 又∵，， ∴， ∴时，四边形是矩形； 【小问2详解】 不存在，某一时刻t，使四边形是菱形；理由如下： 过作于N，则四边形均为矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴不存在，某一时刻t，使四边形是菱形； 设Q的速度为， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 当时，是菱形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形． 23. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为 （2）不能围成占地面积为的电动车车棚，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； 【小问2详解】 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 24. 阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】（1）， （2）2或 【解析】 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． 【小问2详解】 ∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点为线段的中点． （1）求点的坐标； （2）当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入直线求出，从而可得直线的解析式为，再令，计算即可得出结果； （2）设，，由（1）可得，，分两种情况：当是矩形的边时，则点与点重合，当是矩形的对角线时，分别结合矩形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入直线得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵点在直线上运动， ∴设， 由（1）可得，， ∵以，，，为顶点的四边形为矩形， ∴当是矩形的边时，则点与点重合， 故点； 当是矩形的对角线时， 由中点公式得，， 由矩形的对角线相等得，即， 由①②③解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 26. 问题发现： （1）如图①，四边形中，，，对角线的长为6，则四边形的面积为______． 问题探究： （2）如图②，中，，，，点和都是边上的动点，且满足，连接、．求的最小值； 问题解决： （3）某校准备组织八年级同学开展一次去大明宫遗址公园的考古研学活动．小凯和小鹏在去之前先做了一个模拟“藏宝图”的游戏，为了使宝物隐藏得更神秘，小凯利用学过的数学知识，设计了如下方案，让小鹏破解．如图③，点在点的正东方向处，点和都为平面内的动点，且满足，，当线段长度最大时，点的位置即为藏宝地．请你帮助小鹏破解，藏宝地在点的什么方向？距离点多远？ 【答案】（1）18； （2）的最小值为13； （3）藏宝地点在点的南偏东方向，距离点为 【解析】 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，使与重合，得，由，可证、、共线，且为等腰直角三角形，其面积为，即可得到四边形的面积； （2）过点作且，证，得，故，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取最小值，即的长度，在中，根据勾股定理求出的值，即可得到的最小值； （3）将绕点逆时针旋转得，得，为等腰直角三角形，，根据三角形三边关系，当、、三点共线时，取最大值，此时在延长线上，中，进而即可求解． 【小问1详解】 解：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，如图， 由旋转可得，，，， ， ， ， 、、三点共线， 又，且， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形的面积为； 【小问2详解】 解：过点作，在上截取，连接、，如图， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ，， ， ， 在中，，， ∴． 的最小值为． 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接，如图， 由旋转可得，，，， ，即， ，即， 是等腰直角三角形， 在中，， ∵在中，根据三边关系可得， ∴当、、三点共线（且在、之间）时，此时取得最大值，如图， ， 是等腰直角三角形，， ， 当最大时，在的延长线上， 藏宝地点在点的南偏东方向，距离点为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级限时训练数学试题 一、选择题（共8小题，3*8=24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，的坐标为若将线段平移至为中点，平移后的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，一次函数和的图象分别与x轴交于点、，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（共6小题，3*6=18） 9. 在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为______． 10. 若关于的方程有增根，则的值为_____． 11. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 12. 如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 13. 如图，，，，，则线段的长为________． 14. ，，，点为的中点，、分别为、上的点．，求的最小值为______． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上． 16. 解方程： （1） （2）． 17. 因式分解 （1） （2）． 18. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. （尺规作图）如图，请在边，，上分别确定点，，，使得四边形为菱形，请作出菱形（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出，并写出点的坐标_______； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标_______． 21. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 23. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点为线段的中点． （1）求点的坐标； （2）当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题发现： （1）如图①，四边形中，，，对角线的长为6，则四边形的面积为______． 问题探究： （2）如图②，中，，，，点和都是边上的动点，且满足，连接、．求的最小值； 问题解决： （3）某校准备组织八年级同学开展一次去大明宫遗址公园的考古研学活动．小凯和小鹏在去之前先做了一个模拟“藏宝图”的游戏，为了使宝物隐藏得更神秘，小凯利用学过的数学知识，设计了如下方案，让小鹏破解．如图③，点在点的正东方向处，点和都为平面内的动点，且满足，，当线段长度最大时，点的位置即为藏宝地．请你帮助小鹏破解，藏宝地在点的什么方向？距离点多远？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $