21.1 课时2 多边形的内角和与外角和 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形内角和与外角和，通过回顾三角形、四边形内角和引导学生猜想五边形等多边形内角和，以转化思想将多边形分割为三角形，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于注重推理与转化，通过多种分割方法推导内角和公式，结合邻补角关系推导外角和定理，培养推理意识。典例联系生活（如行走形成多边形）体现应用意识，小结明确公式及注意事项，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

21.1 课时2 多边形的内角和与外角和 第二十一章 四边形 22100 学习目标 1.掌握多边形的内角和与外角和公式. 2.能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题. 学习重难点 掌握多边形的内角和与外角和公式. 能利用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 难点 重点 22100 情景导入 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，你能猜想出五边形、六边形、七边形等多边形的内角和分别是多少度吗？ 22100 全品初中 新知探究 探究一：多边形的内角和 思考问题：回顾求四边形内角和的过程,我们是如何将求四边形内角和的问题转化成利用三角形内角和定理求出四边形的内角和的 利用作辅助线的方法，画出一条对角线，把四边形分割成两个三角形，这样四边形的内角和应该等于两个三角形的内角和. 如图所示： 22100 一起探究 知识点1 多边形的内角和 1.回顾求四边形的内角和的过程，思考是如何将四边形的内角和问题转化，从而利用三角形内角和定理求出四边形的内角和的？ 四边形的内角和是360°. 新知引入 22100 2.类比求四边形的内角和的方法，将多边形分割成不重叠的三角形，求五边形、六边形、七边形的内角和，完成图形分割，并将结果填入下表. 六边形的内角和是720°. 五边形的内角和是540°. 七边形的内角和是900°. 22100 多边形 边数 图形(分割成三角形) 分割出的三角形的个数 多边形的内角和 四边形 4 2 360° 五边形 5 六边形 6 七边形 7 3 4 5 540° 720° 22100 新知探究 类比求四边形内角和的方法,将多边形分割成不重叠的三角形,求五边形、六边形、七边形的内角和.完成图形分割,并将结果填入下表 2 360° 3 540° 4 720° 5 900° 多边形的内角和与边数n有关系吗? 猜想n 边形的内角和? 按照表格中的信息，我们可以推断，多边形的内角和与边数n有关系，n边形会分割出个三角形，所以n边形的内角和为 22100 新知探究 已知:如图,n边形. 求证:n边形的内角和等于. 证明：连接 得到 共有个三角形. 的内角和等于, n边形的内角和 的内角 和 的内角和的内角和 你还有其他的方法证明吗？ 22100 新知探究 O 如图，在n边形内部取一点O， 依次连接， 把多边形边形分成个三角形 所以n边形内角和为： 22100 问题3：多边形的内角和与边数n有关系吗？n边形可以分割成几个三角形，猜想n边形的内角和. A1 A2 A3 A4 An-1 An n边形可以分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°， 猜想：n边形的内角和等于（n-2）×180°. 如何用数学的方式验证呢？ 22100 证明：连接A1Ai(i=3，4，…，n-1)，得到 △A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1)，共有(n-2)个三角形. ∵ △A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1)的内角和等于180°， ∴n边形的内角和=△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+...+△A1An-1An的内角和 = 已知：如图，n边形 . 求证：n边形的内角和等于. A1 A2 A3 A4 An-1 An n边形的内角和等于 多边形的内角和定理 想一想，还有其他方法可以探究出多边形的内角和公式吗？ 22100 获取新知 1.回顾求四边形内角和的过程和方法 一起探究 A B C D 180°×4-360°=360° A B C D 180°×3-180°=360° A B C D 180°×2=360° 都是转化为三角形来得到的 22100 A C D E B A C D E B 180°×5-360°=540° 180°×4-180°=540° 2.类比求四边形内角和的方法，将五边形分割成不重叠的三角形. A C D E B 180°×3=540° 22100 新知探究 多边形的内角和定理 边形的内角和等于 注意事项： 公式 适用于所有凸多边形，n 代表边数， 且 n 必须是大于或等于 3 的整数。 n 边形分割成 个三角形方法多样 在计算时，要注意运算顺序 22100 新知探究 探究二：多边形的外角和 思考问题：我们知道,四边形的外角和是360°.那么请如何借助求四边形外角和的方法求n边形的外角和. ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠ ∠ 如图，依次作出边形的外角 根据邻补角的定义， ... 边形的内角和为 边形的外角和为360° 22100 活动2 探究多边形的外角和 我们知道，四边形的外角和是360°.请借助求四边形外角和的方法求n边形的外角和. n边形外角和 =n个平角n边形内角和 = =360°. 多边形的外角和等于 多边形的外角和定理 22100 归纳总结 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 ° (n≥3). 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________ 条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形 的内角和等于______________. (n － 3) （n － 2) (n － 2)×180° 还有其他方法吗？ 22100 四边形的外角和是360°，n边形的外角和是 ． 借助四边形外角和的求解方法求得 An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 n边形外角和 －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° 360° 22100 重组 多边形 平角-内角和 转化思想 多边形的外角和性质 多边形的外角和等于360 °. 与边数无关 归纳总结 22100 新知探究 多边形的外角和定理 任意多边形的外角和都等于 360° 注意事项： 无论多边形是几边形，其外角和永远是 360°，这是一个非常重要的特性。 外角是指多边形的一边与另一边的延长线所组成的角，每个顶点处取一个外角。 内角与外角的关系： 每个内角与其相邻的外角之和为 180°，这是推导外角和定理的关键 22100 典例分析 例1 已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形? 解:设多边形的边数为,那么它的内角和等于, 外角和等于 由题意,得 . 解得 所以这个多边形是四边形. 22100 典例分析 例2 如图,小亮从点O处出发，前进后向右转,再前进后又向右转,这样走次后,恰好回到点O处. (1)小亮走出的这个边形的每个内角是多少度, 内角和是多少度? (2)小亮走出的这个边形的周长是多少米? 解:(1)这个边形的每个内角为. 多边形的外角和等于, . 这个边形的内角和为. (2), 小亮走出的这个边形的周长为 22100 1.已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？ 解：设多边形的边数为n，那么它的内角和等于 (n-2)×180 °，外角和等于360 °. 由题意，得 (n-2)×180 °=360 °. 解这个方程，得 n=4. 所以，这个多边形是四边形. 22100 2.如图，小亮从点O处出发，前进 5 m 后右转20°再前进 5 m 后又右转20°，这样走n次后恰好回到点O处. (1) 小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？内角和是多少度? (2) 小亮走出的这个n边形的周长是多少米? 解：(1)这个n边形的每个内角为180 °-20 °=160 °. ∵多边形外角和等于360 °， ∴ n×20 °=360 °， ∴ n=18， ∴这个n边形的内角和=（18-2）×180 °=2880 °. (2)∵5×18=90(m)， ∴ 小亮走出的这个n边形的周长为90 m. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与归纳 方程思想 22100 课堂小结 内角和公式 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 多边形 22100 $