4.4 二倍角公式及应用 训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 聚焦二倍角公式的灵活应用，通过多题型梯度训练构建“公式推导-变形应用-综合迁移”的知识逻辑链，强化运算推理与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-2、填空8-9|直接应用二倍角公式求值|从二倍角公式推导到基本形式应用，强化公式记忆与直接运算| |公式变形|单选3-4、多选5-7|结合诱导公式、和差角公式变形|建立二倍角公式与同角关系、和差角公式的关联，培养推理意识| |综合迁移|解答11-12、填空10|多公式综合及实际情境应用|从数学符号表达过渡到实际问题解决，发展应用意识与创新思维|

4.4　二倍角公式及应用 一、 单选题 1 已知cos ＝，则sin 2α的值为(　　) A. B. － C. － D. 2 若tan 2α＝，则的值为(　　) A. － B. 2 C. －2或 D. －或2 3 已知sin ＝，sin ＝，则角θ所在的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4 [2025山西模拟]若cos (α＋β)cos β＝，tan (α＋β)＝，则cos 2α的值为(　　) A. －1 B. －1 C. －1 D. －1 二、 多选题 5 已知α为锐角，sin α＝，则下列结论中正确的是(　　) A. sin α>cos 2α B. sin 2α<cos 2α C. sin 2α<tan 2α D. cos 2α>tan 2α 6 [2025南通海门实验学校期中]下列式子中，正确的是(　　) A. tan 10°＝2 B. ＝－ C. ＝ D. 2cos 10°－＝－ 7 已知sin 10°＝a，则－的值用a可以表示为(　　) A． B. C. 16a D. 32a 三、 填空题 8 已知θ∈，且cos ＝m cos 2θ(m≠0)，则sin 2θ＝________． 9 [2025广东一模]已知α是锐角，若tan 2α＝，则tan α＝________． 10 [2025湖南师大附中期初]在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆相交于点P，角β满足cos (α＋β)＝0，则的值为________． 四、 解答题 11 求值： (1) ； (2) tan －； (3) cos cos cos cos . 12 [2025吉林毓才高级中学月考]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π).求： (1) sin θ－cos θ的值； (2) cos (2θ＋2 025π)＋tan (θ＋2 025π)的值． 4．4　二倍角公式及应用 1. C　解析：因为cos ＝，所以sin 2α＝－cos (＋2α)＝－cos ＝－2cos2＋1＝－2×＋1＝－. 2．B　解析：因为tan 2α＝＝，所以4－4tan2α＝6tanα，即2－3tan α＝2tan2α，所以＝＝＝＝2. 3．C　解析：因为sin ＝，所以sin ＝－.因为sin (＋)＝，所以cos ＝，所以sin θ＝2sin cos ＝－<0，cos θ＝cos2－sin2＝－<0，所以θ是第三象限角． 4．A　解析：由cos (α＋β)cos β＝，得cos (α＋β)＝，所以tan (α＋β)＝＝＝m cos βsin (α＋β)＝.因为cos β≠0，所以sin (α＋β)sin β＝，所以cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝＋＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2－1＝－1. 5．BC　解析：因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝，sin2α＝2sin αcos α＝，tan 2α＝＝，所以sin α<cos 2α，sin 2α<cos 2α，sin 2α<tan 2α，cos 2α<tan 2α，故B，C正确，A，D错误．故选BC. 6. ACD　解析：对于A，(－tan 5°)tan 10°＝×tan 10°＝×tan 10°＝2，故A正确；对于B，＝＝tan ＝tan ＝－，故B错误；对于C，＝＝＝＝，故C正确；对于D，2cos 10°－＝2cos 10°－＝＝＝＝－，故D正确．故选ACD. 7. AD　解析：－＝＝＝＝＝.又因为sin30°＝sin (10°＋20°)＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°＝sin 10°(1－2sin210°)＋2sin10°·cos210°＝3sin 10°－4sin310°＝，所以3a－4a3＝，即6a－8a3＝1，所以＝＝＝32a.故选AD. 8.－1　解析：由cos ＝m cos 2θ，得(cos θ－sin θ)＝m(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ).因为θ∈，所以cos θ>0，sin θ<0，所以cos θ－sin θ>0，所以cos θ＋sin θ＝，两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－1. 9. 　解析：由tan 2α＝，得＝.因为α是锐角，所以tan α>0，所以＝，整理，得3tan2α＋2tanα－1＝0，解得tan α＝或tan α＝－1(舍去). 10. － 　解析：因为角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆相交于点P，所以tan α＝＝－.因为cos (α＋β)＝0，所以cos αcos β＝sin αsin β，显然cos α≠0，sin α≠0，cos β≠0，所以tan β＝＝－，所以＝＝tanβ＝－. 11. (1) 原式＝[sin －sin ]·[sin ＋sin ] ＝· ＝cos2－sin2＝cos＝. (2) 原式＝＝－2·＝－2×＝－2. (3) 原式＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝. 12. (1) 因为sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝， 所以1＋2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－<0. 又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0. 因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 所以sin θ－cos θ＝. (2) 由 解得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－3， 所以cos (2θ＋2 025π)＋tan (θ＋2 025π)＝－cos 2θ＋tan θ＝sin2θ－cos2θ＋tanθ＝－－3＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $