4.7.2　解三角形的应用 训练- 2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理为核心，整合面积公式、角平分线定理等，通过分层题型系统培养推理能力与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|4（单选1-4）|边角互化、余弦定理求角|从定理直接应用到方程思想构建| |综合几何问题|3（多选5-7）|三角形解的个数判断、面积法|结合图形性质延伸定理应用场景| |最值与范围|5（填空8-10、解答11-12）|中线公式、不等式求最值|从定量计算到动态范围推理，体现模型意识|

4.7.2　解三角形的应用 建议用时：40＋2分钟　答案P160 一、 单选题 1 [2025江苏部分省级示范重点中学月考]在△ABC中，已知(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 2 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝1，cos A－a cos B＝a，则角A的取值范围为(　　) A. B. C. D. 3 [2025枣庄模拟]已知在△ABC中，BC＝1，AB＝2，sin ＝sin ，若角B的平分线交AC于点D，则BD的长为(　　) A. 或 B. 或 C. D. 4 在凸四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，则cos ∠BCD的值为(　　) A. B. － C. － D. 二、 多选题 5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝30°，b＝，c＝x.若满足条件的△ABC有且只有一个，则x的取值可能是(　　) A. B. C. 1 D. 6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　) A. 若sin A>sin B，则A>B B. 若＝，则△ABC为等腰三角形 C. 若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形 D. 2cos2A＝cos2B＋cos 2C＋4sin B sin C cos A 7 [2025苏州期初调研]如图，已知直线l1∥l2，A是直线l1，l2之间的一个定点，点A到直线l1的距离AE＝1，点A到直线l2的距离AD＝2，点B，C分别在l1，l2上，设∠ACD＝α，则下列说法中正确的是(　　) A. 若α＝30°，AB⊥AC，则AB＝2 B. 若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2 C. 若△ABC为等边三角形，则tan α＝ D. 若∠BAC＝60°，则＋的最大值为1 三、 填空题 8 已知△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，则△ABC的中线AD的长为________． 9 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 ________． 10 如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S.已知S＝，且a sin A＋c sin C＝4a sin C sin B，则FH＝________． 四、 解答题 11 [2025湖北七市州调研]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A(sin A－sin C)＝sin2(A＋C)－sin2C. (1)求角B的大小； (2) 若P为边AC上一点(异于端点)，∠BPC＝2A，求的取值范围． 12 [2025郑州二模]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c. (1) 求角B的大小； (2) 若a＝2，c＝5，边AC，AB上的中线BE，CF相交于点M. ①求BE的长度； ②求cos ∠EMF的值． 4．7.2　解三角形的应用 1. B　解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理，得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝.又0<C<π，所以C＝. 2. A　解析：因为b＝1，cos A－a cos B＝a，所以b cos A－a cos B＝a，所以sin B cos A－sin A cos B＝sin A，即sin (B－A)＝sin A．因为0<A<，0<B<，所以－<B－A<，所以B－A＝A，即B＝2A.因为即解得<A<. 3. C　解析：由sin ＝sin ，得(sin B＋cos B)＝sin B－cos B，即sin B＝－cos B．又B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B≠0，则tan B＝－，所以B＝.又因为BD为角B的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝.方法一：由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得AB·BD·sin ＋BC·BD·sin ＝AB·BC·sin ，即×2×BD×＋×1×BD×＝×2×1×，化简，得2BD＋BD＝2，解得BD＝. 方法二：在△ABC中，AB＝2，BC＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC cos ∠ABC＝22＋12－2×2×1×＝7，所以AC＝.由角平分线定理，得＝＝2，所以AD＝，CD＝.由斯台沃特定理，得AB2·DC＋BC2·AD＝BD2·AC＋AD·DC·AC，即4×＋1×＝BD2×＋×，化简，得2＝BD2×＋，解得BD2＝，所以BD＝. 4. C　解析：如图，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝1＋4＋2×1×2×＝7，所以AC＝.因为CD＝3，DA＝4，满足AC2＋CD2＝DA2，所以∠ACD＝90°.在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BCA＝＝，则sin ∠BCA＝，所以cos ∠BCD＝cos (90°＋∠BCA)＝－sin ∠BCA＝－. 5. BD　解析：由正弦定理＝，得＝，则sin B＝.因为△ABC有且只有一个解，若B>30°，则B＝90°；若0<B≤30°，显然满足题意，所以0<sin B≤或sin B＝1，即0<≤或＝1，解得x≥或x＝.故选BD. 6. ACD　解析：对于A，在△ABC中，由sin A>sin B及正弦定理，得a>b，所以A>B，故A正确；对于B，由＝及正弦定理，得＝，所以sin 2A＝sin 2B，由0<A<π，0<B<π，0<A＋B<π，得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，在△ABC中，由tan A＋tan B＋tan C<0，得tan (A＋B)(1－tan A tan B)＋tan C＝tan A tan B tan C<0，所以tan A，tan B，tan C中有且只有一个为负数，所以A，B，C中有一个为钝角，即△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，由正弦定理，得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB sin C cos A，则2sin2A＝2sin2B＋2sin2C－4sinB sin C cos A，所以2(1－cos2A)＝1－cos2B＋1－cos 2C－4sin B sin C cos A，整理，得2cos2A＝cos2B＋cos 2C＋4sin B sin C cos A，故D正确．故选ACD. 7. BCD　解析：对于A，若α＝30°，AB⊥AC，则∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，所以∠BAE＝30°.在Rt△ABE中，AB＝＝＝，故A错误；对于B，由AB⊥AC，得∠BAC＝90°，所以∠BAE＝∠ACD＝α.在Rt△ACD中，AC＝＝，在Rt△ABE中，AB＝＝，所以S△ABC＝AB·AC＝＝.因为sin 2α∈(0，1]，所以当sin 2α＝1时，(S△ABC)min＝2，故B正确；对于C，由△ABC为等边三角形，得∠BAC＝60°，∠CAD＝90°－α，则∠BAE＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α.在Rt△ACD中，AC＝，在Rt△ABE中，AB＝.又AB＝AC，所以＝，化简，得cos α＝2sin α，易知cos α≠0，所以tan α＝＝，故C正确；对于D，由C，得AC＝，AB＝，若∠BAC＝60°，则＋＝cos (30°＋α)＋sin α＝cos α＋sin α＝sin (α＋60°)≤1，当且仅当α＝30°时，等号成立，故D正确．故选BCD. 8. 或　解析：因为△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，所以S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝4sin ∠BAC＝2，解得sin ∠BAC＝，所以∠BAC＝或∠BAC＝.当∠BAC＝时，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝12，则BC＝2，故BD＝BC＝.因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以AD2＝AB2＋BD2＝7，则AD＝.当∠BAC＝时，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝28，则BC＝2，故BD＝BC＝.在△ABC中，由余弦定理可知cos B＝＝.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝3，故AD＝.综上，△ABC的中线AD的长为或. 9. 　解析：由题意，得a＋b＝2c.又cos C＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为. 10. 3　解析：因为a sin A＋c sin C＝4a sin C sin B，S＝ac sin B＝，所以a2＋c2＝4ac sin B＝6.连接BF，BH，FH.在△BFH中，由余弦定理， 得FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos ∠FBH，又∠FBH＝－∠ABC，所以FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos (－∠ABC)＝2(c2＋a2)＋4ac sin ∠ABC＝18，所以FH＝3. 11. (1) 在△ABC中，因为A＋B＋C＝π， 所以sin A(sin A－sin C)＝sin2B－sin2C， 即sin2A－sinA sin C＝sin2B－sin2C， 由正弦定理，得a2－ac＝b2－c2， 即a2＋c2－b2＝ac. 在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2) 在△ABC中，因为∠BPC＝2A， 所以∠ABP＝A，则＝， 在△BPC中，由正弦定理，得＝＝＝， 则＝＝＝－1＋. 又因为∠PBC＝－A， 所以A∈，所以tan A∈(0，)， 所以－1＋∈(1，＋∞)， 所以的取值范围为(1，＋∞). 12. (1) 由正弦定理，得sin B(cos A＋sin A)＝sin A＋sin C， 则sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin (A＋B)， 整理，得sin B sin A＝sin A＋sin A cos B. 因为sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B， 所以sin ＝. 又－<B－<， 所以B－＝，即B＝. (2) ①由题意，得＝(＋)， 所以||＝ ＝＝. 故BE的长度为. ②在△BCF中，由余弦定理，得CF2＝BC2＋BF2－2BC·BF·cos ∠CBF＝，则CF＝. 因为点M是△ABC的重心， 所以CM＝CF＝，BM＝BE＝， 在△BCM中，由余弦定理可得cos ∠BMC＝＝，又∠EMF＝∠BMC， 所以cos ∠EMF的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $