4.7 正弦定理、余弦定理【5大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正余弦定理6大核心考点，以题型专练构建从基础应用到实际问题的知识逻辑链，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理解三角形|6题|已知边边角、角角边求边或角|定理直接应用，奠定基础| |边角互化|6题|等式证明、边角转化求角或边|体现定理桥梁作用，深化转化思想| |三角形面积问题|6题|已知边角求面积或面积反求边/角|综合定理与面积公式，强化应用| |判断解的个数|6题|多选型、参数范围题分析多解情况|突破易错点，培养严谨思维| |判断三角形形状|8题|利用边角关系判断等腰、直角等类型|综合应用定理，提升推理能力| |实际应用|6题|测量高度、距离等现实问题，含多问解答题|联系生活实际，发展应用意识|

4.7 正弦定理、余弦定理 5大考点汇总 考点01 正余弦定理解三角形 考点02 利用正余弦定理边角互化 考点03 三角形的面积问题 考点04 判断三角函数解的个数 考点05 判断三角形的形状 考点06 正、余弦定理的实际应用 题型专练 考点01 正余弦定理解三角形 1．在中，，，，则__________． 2．已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 3．在中，已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 4．中，，则__，外接圆半径为__． 5．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 6．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 考点02 利用正余弦定理边角互化 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．证明：. 8．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 9．记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 11．在中，角所对边分别为，，则__________． 12．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 考点03 三角形的面积问题 13．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 15．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 16．在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 17．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 18．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 考点04 判断三角函数解的个数 19．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 20．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 21．（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 22．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 23．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点05 判断三角形的形状 25．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 26．在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（     ） A．若，则 B．，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的三角形有两个 D．若的面积为，则 27．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 28．已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 29．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 30．（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 31．在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 32．（多选）在中，下列命题正确的（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 考点06 正、余弦定理的实际应用 33．为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 34．位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 35．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 36．位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 37．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 38．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7 正弦定理、余弦定理 5大考点汇总 考点01 正余弦定理解三角形 考点02 利用正余弦定理边角互化 考点03 三角形的面积问题 考点04 判断三角函数解的个数 考点05 判断三角形的形状 考点06 正、余弦定理的实际应用 题型专练 考点01 正余弦定理解三角形 1．在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 2．已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理可得，解得， 由于，则，即为锐角，故. 3．在中，已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理得， 所以， 故. 4．中，，则__，外接圆半径为__． 【答案】 3 / 【分析】首先根据余弦定理求，再根据正弦定理求外接圆的半径. 【详解】， 由，可得：，可得：， 解得：或（舍去）， ， 设外接圆半径为，则由正弦定理． 故答案为：3，． 5．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 6．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 考点02 利用正余弦定理边角互化 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．证明：. 【答案】因为， 则代入已知得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则 ， ，， 代入上式： 所以． 【分析】先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. 【详解】略 8．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C. 【详解】在中，设其外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 则由，可得 ， 由两角和的正弦公式，左边可化简为， 又， 因此等式化为 由于，故， 两边同除以得，又，因此. 9．记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于的三角等式，求出的值，再代入余弦定理计算边． 【详解】由正弦定理得，则， 又，所以， 所以，所以为锐角， 由，得， 由余弦定理得， 所以． 10．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值. 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 11．在中，角所对边分别为，，则__________． 【答案】2 【分析】先通过余弦定理将余弦转化为边，再代入整理即可求得. 【详解】因为，由余弦定理得，， 又因为，代入上式整理得：，所以. 12．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 考点03 三角形的面积问题 13．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由代入，结合余弦定理即可求解． 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果. 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 15．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． 16．在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得边b，再利用余弦定理结合，求得a,c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，，外接圆半径为， 所以，则， 由余弦定理得，即， 又因为，解得， 所以的面积是 ， 17．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 18．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【详解】（1）由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. （2）由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 考点04 判断三角函数解的个数 19．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（1）利用面积公式建立与的关系，再结合余弦定理得到关于的方程，求解得和的值. （2）根据和的值求出半周长，结合已知，用面积公式算出面积. 【详解】（1）已知，半周长， 由面积公式可得： ， 又因为，由面积公式可得： ，因为两式相等，所以约去得： ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. （2）由（1）已得，面积，代入可得：，， 所以. 20．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 21．（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】ABC 【分析】通过比较与的关系，来确定三角形解的个数. 【详解】已知，， 如图，过作，垂足为． ． ①当或时，有一解； ②当时，无解； ③当时，两解． 结合四个选项，可知，ABC三项判断错误． 22．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 23．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意或即可求解. 【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 考点05 判断三角形的形状 25．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 【答案】1 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到只有一解，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个. 26．在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（     ） A．若，则 B．，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的三角形有两个 D．若的面积为，则 【答案】B 【分析】由正弦定理判断A；由题意可得或，从而得为等腰三角形或直角三角形，即可判断B；由题意可得，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，因为，所以或， 由于,所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为，故三角形有两个，故C正确； 对于D，因为， 又因为，所以，所以，又因为，所以，故D正确. 27．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 28．已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据确定边，再由求角，最后根据可确定三角形形状. 【详解】如图： 过作，垂足为. 则，，所以； 又，所以为等腰三角形. 由，得＝＝， 所以，，又因为， 则是等边三角形. 29．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 30．（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 31．在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理角化边得，即， 故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 32．（多选）在中，下列命题正确的（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【分析】对于A，利用余弦定理化简即可判断；对于B，利用正弦定理与三角形边角关系即可判断；对于C，利用和角的正切公式化简得即可判断；对于D，利用正弦函数图象的性质结合角的范围即可判断. 【详解】对于A，由和余弦定理，可得， 化简得，即，故是等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，再由正弦定理，可得，故B正确； 对于C，因为， 所以， 若，则, 因,则中必有一个是钝角，故为钝角三角形，即C正确； 对于D，因,由，则或， 即或，故为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 考点06 正、余弦定理的实际应用 33．为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先在水平面三角形中利用正弦定理求出的长度，再在直角三角形中利用正切函数求出塔高. 【详解】由题意可知， 平面，所以为直角三角形，且， 在中，已知，， 所以， 由正弦定理 ， 得 （米）. 在中，， 所以 （米）. 34．位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 【答案】(1)海里/时 (2)海里/时 (3)能完成任务，航行方向为北偏西 ，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度； （2）由1小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度； （3）设相遇时间为 ，，在中，由余弦定理得到，再结合，求解即可. 【详解】（1） 货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度， 由题意得 海里，，最短航行距离海里， 此时货轮行驶路程 海里，行驶时间小时， 故快艇航速海里/时； （2）经过1小时，货轮行驶路程 海里， 在 中， ，， 由余弦定理得： ， 故海里， 故快艇航速海里/时； （3）设相遇时间为 ，在中 ， 由余弦定理得： ， 整理得， 若 且，则 ， 代入得： ， 仅当 时等号成立，此时海里/时，符合最高航速限制， 设航行方向为北偏西 ，即， 则， 得， 即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 35．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 36．位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【答案】D 【分析】过作，垂足为.过作，垂足为.在中求得，从而得到.中，由正弦定理求得，从而得.在中，利用等边对等角，可求得，即A，B两点到水平面的高度差. 【详解】如图，过作，垂足为.过作，垂足为. 则. 又， 所以中，. 所以. 中，，，所以. . 由正弦定理得，， 所以. 在中，，所以， 所以. 即A，B两点到水平面的高度差约为. 37．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 38．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 【答案】 【分析】先根据在处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合处的杆子算出斜面的底角. 【详解】设阳光与水平面的夹角为，则， 设与斜面的接触点为的杆子为，为长度为1.45米的影子， 过点作于点，其中与水平面平行，设， 则，解得， 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $