4.5 三角恒等变换 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换公式的灵活应用，通过多解法对比与实际问题转化，构建"公式推导-变式训练-模型应用"的完整方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式逆用与变形|5题|辅助角公式、角的配凑法、特殊值排除法|从两角和差公式到二倍角公式的递进，强调公式结构特征与符号规律| |综合计算与最值|4题|换元法、不等式求最值、同角关系转化|三角恒等变换与函数性质的综合应用，培养逻辑推理能力| |实际情境应用|1题|几何建模、解三角形|将现实问题抽象为数学模型，体现数学应用意识|

4.5　三角恒等变换 一、 单选题 1 若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则下列结论中正确的是(　　) A. tan (α－β)＝1 B. tan (α＋β)＝1 C. tan (α－β)＝－1 D. tan (α＋β)＝－1 2 [2026南京中华中学月考]若sin ＝，则cos 的值为(　　) A. B. － C. D. － 3 [2026镇江丹阳期初]已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，则tan β的最大值为(　　) A. B. C. 1 D. 4 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　) A. 49.25 m B. 50.76 m C. 56.74 m D. 58.60 m 二、 多选题 5 [2025扬州大学附属中学期初]下列等式中，成立的是(　　) A. sin 63°cos 18°－cos 63°sin 18°＝ B. sin 15°cos 15°＝ C. sin2－cos2＝ D．＝ 6 已知4cos ＝cos 2α，则下列结论中正确的是(　　) A. sin α＋cos α＝ B. α＝kπ＋(k∈Z) C. tan 4α＝0 D. tan α＝1 7 [2025扬州期中]已知角α，β满足sin α＝－，cos (α＋β)sin β＝，则下列结论中正确的有(　　) A. cos 2α＝ B. sin (α＋β)cos β＝ C. tan (α＋β)＝4tan β D. sin (α＋2β)＝ 三、 填空题 8 [2026镇江丹阳期初]已知0<α<π，0<β<π，tan α＝－，tan (α＋β)＝－3，则sin 2β＝________． 9 已知sin ＝，且α∈，则sin 2α＝________，cos －sin 4α＝________． 10 [2025淮安一调]已知sin α＋cos α＝，则＝________． 四、 解答题 11 已知α，β为锐角，tan ＝，cos (α＋β)＝－.求： (1) cos 2α的值； (2) tan (α－β)的值． 12 已知tan α＝，cos β＝，且0<α<，<β<2π.求： (1) tan 2α的值； (2) α＋β的值． 4．5　三角恒等变换 1. C　解析：方法一(直接法)：由题意，得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，故tan (α－β)＝－1. 方法二(特殊值排除法)：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝－，排除A，B；设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D.故选C. 方法三(三角恒等变换)：由题意，得sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin (α＋β＋)＝·sin ＝sin (α＋)cos β＋·cos (α＋)sin β＝2cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β＝cos sin β，所以sin (α＋)cos β－cos sin β＝0，即sin ＝0，所以sin (α－β＋)＝sin (α－β)cos ＋cos (α－β)sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cos (α－β)，所以 tan (α－β)＝－1. 2. B　解析：由题意，得cos ＝cos [π－2]＝－cos [2(－α)]＝－[1－2sin2]＝－[1－2×]＝－. 3．A　解析：因为sin (2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝2sin β，所以sin 2αcos β＝2sin β－cos 2αsin β＝sin β(1＋2sin2α).因为α，β∈，所以tanβ＝＝＝＝，且tan α∈(0，＋∞)，所以tan β＝≤＝，当且仅当tan α＝时，等号成立．故tan β的最大值为. 4. B　解析：如图，设球的半径为R，AB＝＝R，AC＝.因为BC＝－R＝100，所以R＝＝＝＝＝＝≈，所以2R≈≈50.76，即该球体建筑物的高度约为50.76 m. 5. AD　解析：对于A，sin 63°cos 18°－cos 63°sin 18°＝sin (63°－18°)＝sin 45°＝，故A正确；对于B，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；对于C，sin2－cos2＝－＝－cos＝－，故C错误；对于D，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D正确．故选AD. 6. BCD　解析：由4cos ＝cos 2α，得4(cos αcos －sin αsin )＝cos2α－sin2α，即2(cosα－sin α)＝cos2α－sin2α，整理，得(cosα＋sin α－2)(cos α－sin α)＝0，所以cos α＋sin α－2＝0或cos α－sin α＝0，即sin ＝2或sin α＝cos α，则sin (α＋)＝2(舍去)或tan α＝1，解得α＝kπ＋(k∈Z)，所以4α＝4kπ＋π(k∈Z)，tan 4α＝tan (4kπ＋π)＝tan π＝0，故A错误，B，C，D正确．故选BCD. 7. ABD　解析：因为sin α＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，故A正确；因为sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝－，所以sin (α＋β)cos β＝－＝，故B正确；由sin (α＋β)cos β＝，cos (α＋β)sin β＝，得tan (α＋β)＝tan β，故C错误；sin (α＋2β)＝sin (α＋β＋β)＝sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin β＝＋＝，故D正确．故选ABD. 8. －1　解析：由题意，得tan (α＋β)＝＝＝－3，则＝－3，解得tan β＝－1，所以sin 2β＝＝＝－1. 9.　－　解析：因为α∈，所以<2α＋<.由sin ＝，得cos ＝－，则 sin 2α＝sin [(2α＋)－]＝sin cos －cos sin ＝×＋×＝，则cos －sin 4α＝cos 4αcos ＋sin 4αsin －sin 4α＝cos 4α＝(1－2sin22α)＝－×＝－. 10. －4　解析：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－，故＝＝＝＝＝＝＝5sin 2α＝5×＝－4. 11. (1) 因为tan ＝， 所以tan α＝＝＝. 又α为锐角，且sin2α＋cos2α＝1， 所以sinα＝，cos α＝， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－. (2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝， 则tan 2α＝＝－. 因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 又cos (α＋β)＝－， 所以sin (α＋β)＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝－2， 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－. 12. (1) 因为tan α＝， 所以tan 2α＝＝＝. (2) 因为cos β＝，且<β<2π， 所以sin β＝－＝－＝－， 所以tanβ＝＝＝－2， 所以tan (α＋β)＝＝＝－1. 因为0<α<，<β<2π， 所以<α＋β<， 所以α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $