解答题专训01 三角恒等变换与三角函数（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型通法-分层训练”构建三角恒等变换与三角函数专项体系，聚焦图象解析、性质应用及综合变换，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4类核心技巧|待定系数法求解析式、性质（单调性/对称性/奇偶性）判定、恒等变换结论、拆角拼角技巧|从基础公式到变换策略，形成“公式-技巧-应用”递进链| |题型通法及变式提升|2题型（含典例+变式）|三角函数图象性质（化归为Asin(ωx+φ)+h）、恒等变换“四大策略”（常值代换/角配凑/降升幂/弦切互化）|题型与方法对应，典例覆盖高频考法，变式强化迁移能力| |重难专题分层过关练|巩固6题+创新2题|分层设计，基础巩固图象性质应用，创新提升跨学科与探究能力|从基础应用到综合创新，符合一轮复习螺旋上升需求|

解答题专训01 三角恒等变换与三角函数 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 三角函数的图象和性质 2 题型2 三角恒等变换与三角函数的综合 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1.已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数. 3.三角恒等变换常用结论 （1）sin2α＝，cos2α＝； （2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； （3）tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. 4.常用拆角、拼角技巧 2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 题型通法及变式提升 题型1 三角函数的图象和性质 【典例1】（2026·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间. 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin的 性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项； 另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 【变式1】（2026·北京海淀一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【变式2】（2026·北京丰台期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 题型2 三角恒等变换与三角函数的综合 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 三角恒等变换的“四大策略” （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； （2）项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 【变式1】（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求a的值； (2)求图象的对称中心和对称轴； (3)当时，求的最值，以及相应的值． 【变式2】（2026·四川成都·期中）已知函数，在区间上的最大值为. (1)求常数的值； (2)求函数的最小正周期和单调递减区间. 【变式3】（25-26高三下·四川眉山·阶段检测）已知函数． (1)求的对称轴方程； (2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京丰台·一模）已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 2．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值集合. 3．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 4．（2026·北京通州期末）已知函数的最大值为. (1)求的值和的对称轴； (2)求在上的单调递减区间； (3)若，成立，求的取值范围. 5．（25-26高三下·贵州铜仁·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值； (2)将图像上所有点向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，若在[上有两个不同的解，求实数m的取值范围． 6．（2026·北京·模拟预测）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 创新提升 1．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 2．（25-26高三下·北京·期中）对平面直角坐标系中的点，，定义运算.若由平面内个点（）组成的集合满足：对任意，（与可能相等），，且原点，则称为“集合”. (1)设，，计算并化简： ①； ②. (2)判断是否是“集合”？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)若是“集合”，点是的元素，证明：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训01 三角恒等变换与三角函数 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 三角函数的图象和性质 2 题型2 三角恒等变换与三角函数的综合 4 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 1.已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数. 3.三角恒等变换常用结论 （1）sin2α＝，cos2α＝； （2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； （3）tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. 4.常用拆角、拼角技巧 2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 题型通法及变式提升 题型1 三角函数的图象和性质 【典例1】（2026·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间. 【解】（Ⅰ）由已知图象得 ，则. 因为，所以. 因为，， 所以.所以． （Ⅱ）由题可得：向左平移得y=2cosx,横坐标再缩短到原来的倍得 故． 因为， 所以. 所以的单调递减区间为. 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin的 性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项； 另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 【变式1】（2026·北京海淀一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【解】（1）由图象可知：，解得：，， 又由于，可得：，所以， 由图象知，，又因为， 所以，．所以． （2）由，，得，． 函数的单调递增区间是，． （3）依题可得，因为， 则，所以， 即的值域为． 【变式2】（2026·北京丰台期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【解】（1）由图可得的最小正周期． 因为，且，所以． 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以，则． （2）因为，所以． 由，得，因为在上有两个不同的零点， 所以，解得． 故的取值范围为． 题型2 三角恒等变换与三角函数的综合 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 【解】（1）函数 由，解得 所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为． （2）当时，， 由在区间上的最大值为，得， 而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此，，解得， 所以的值是. 三角恒等变换的“四大策略” （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； （2）项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 【变式1】（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求a的值； (2)求图象的对称中心和对称轴； (3)当时，求的最值，以及相应的值． 【解】（1） ， 因为的最大值为1，所以，解得； （2）， 令，解得， 故函数的对称中心为， 令，解得， 故函数的对称轴为； （3），， 故，故， 故的最小值为，此时，即， 的最大值为1，此时，即. 【变式2】（2026·四川成都·期中）已知函数，在区间上的最大值为. (1)求常数的值； (2)求函数的最小正周期和单调递减区间. 【解】（1）， 由，得， 所以当即时，函数取到最大值， 所以，即； （2）由（1）知，，所以函数的最小正周期， 令，得， 所以函数的单调递减区间为. 【变式3】（25-26高三下·四川眉山·阶段检测）已知函数． (1)求的对称轴方程； (2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【解】（1） ， 令，则， 故的对称轴方程； （2）由可得， 当即时，函数取得最小值． 所以，对应的的取值集合为 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京丰台·一模）已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 【解】（1）解：根据函数的部分图像， 可得，所以， 再根据五点法作图，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. （2）解：因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为. （3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 2．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值集合. 【解】（1）由图可知，，则. 因为，所以. 由，得， 所以，解得. 因为，所以. 故. （2）由，可得， 所以或， 解得或. 故的取值集合为或. 3．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 4．（2026·北京通州期末）已知函数的最大值为. (1)求的值和的对称轴； (2)求在上的单调递减区间； (3)若，成立，求的取值范围. 【解】（1）由题知， 因为的最大值为，所以，可得， 所以， 由得. 所以函数的对称轴方程为. （2）因为，令，则， 因为的单调递减区间是， 由，得， 所以在的单调递减区间是. （3）由题意知，由，可得， 故当时，函数取最大值，所以，， 因此，实数的取值范围是. 5．（25-26高三下·贵州铜仁·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值； (2)将图像上所有点向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，若在[上有两个不同的解，求实数m的取值范围． 【解】（1）函数； 由于函数的最大值为1， 所以，解得． （2）由（1）得：，将图像上所有点向右平移个单位， 得到的图像，再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到的图像， 由于函数在上有两个不同的解， 故在上有两个不同的解， 由于，故， 如图所示：函数的图像， 若函数在上有两个不同的解， 故直线与函数的图像在坐标系内有两个交点， 故，解得． 故实数m的取值范围为． 6．（2026·北京·模拟预测）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【解】（1）选择①② 由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. （选择②③证明过程和①②一致；因为①的推论为，与③一致，故不可选择①③） （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 创新提升 1．（25-26高一下·北京·期中）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证: ； (2)将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 【解】（1）， 故是向量的“相伴函数”，故； （2）， 设，则，， 则， 即， 由，则，故， 又，故当且仅当且时，原式成立， 即有，解得，故， 即存在点，使得； （3）由题意可得，其中， 由在处取得最大值，则， 即，则， 由，则， 则， 由函数在上单调递减，故， 由，即， 则， 即的取值范围为. 2．（25-26高三下·北京·期中）对平面直角坐标系中的点，，定义运算.若由平面内个点（）组成的集合满足：对任意，（与可能相等），，且原点，则称为“集合”. (1)设，，计算并化简： ①； ②. (2)判断是否是“集合”？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)若是“集合”，点是的元素，证明：. 【解】（1）①.，， ②.由①得：. （2） ， ， 由周期性知， 又因为，， 不可能同时为零，所以原点，所以为“集合”. （3）反证法：设中有个元素(是一个有限的数) 假设是的元素，且， 因为是“集合”，所以原点，所以， 设， 定义 ,， ，有，所以互不相同， 所以中有无数个元素，矛盾.所以假设错误，所以，证毕. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $