山东省2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷02

**基本信息** 以大模型训练、通信信号传输等科技情境为载体，覆盖选择性必修三及导数内容，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、函数图像、排列组合、指数模型应用|第4题结合AI训练损失函数考查指数函数性质，体现数学眼光| |多选题|3/18|统计案例、不等式性质、函数零点|第9题辨析相关系数与正态分布，强化数学思维严谨性| |填空题|3/15|二项式定理、最值问题、恒成立问题|第14题通过分段函数考查参数范围，注重数学语言表达| |解答题|5/77|概率统计、函数奇偶性、独立性检验、导数证明|15题通信信号译码问题融合全概率公式与二项分布，19题导数证明与单调性分析，契合高考命题趋势|

山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 3．从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（   ） A．6种 B．10种 C．12种 D．36种 4．大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 5．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的有（   ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．若服从两点分布，且，则 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，，，，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，的系数为____． 13．已知，且，则的最小值为_____． 14．已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 16．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 17．某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 19．已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【详解】若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 2．函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 3．从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（   ） A．6种 B．10种 C．12种 D．36种 【答案】D 【分析】分类讨论甲是否参加活动，再根据特殊元素法结合排列数分析求解即可. 【详解】当甲参加活动时，因为甲只参加A项活动， 先把甲安排到A项活动，然后再从剩下的4人中任选2人，再安排到B，C两项活动， 共有种方案； 当甲不参加活动时，因为其他人都没有要求， 先从剩下的4人中任选3人，然后再安排到A，B，C三项活动中， 共有种方案； 由加法计数原理，共有种方案． 4．大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 【答案】B 【分析】先由损失函数确定初始值为1,再分别代入验证A、C的函数值正误,对B通过给不等式两边取常用对数,代入估算迭代轮次,依据指数函数非线性变化特点判断D错误,最终得出只有B选项正确. 【详解】由题意得损失函数，初始损失值时，. 对选项A，当时，，不等于，故A错误. 对选项B，令，两边取常用对数得. ，代入得， 化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确. 对选项C，当时，，不等于，故C错误. 对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误. 5．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 6．不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 7．若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式在上有解问题转化为（，），结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 8．函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】先根据、 为奇函数，推导出 、 的对称性与周期性，再据此逐一验证选项即可. 【详解】 为奇函数， ，  ① 则关于点 中心对称， 对①两边求导：，， 即 关于直线 对称，即，  ② 为奇函数， ， 令 ，则 ，代入得：， 即 关于点 对称，故，  ③ 联立②③：， 令 ，则 ，代入得：， 即 ，故 ， 的周期为 ，且， 由 及 ，则， 令 ，得 ， 又 关于 对称，故 ， 令 ，代入①式：，即 ， 由 ，令 ，得 ， 又 ，令 代入 ，得： ，所以，即， 故 ，得 ，所以， 所以， 即 的周期为 ； 选项A：由 ，可知 周期为 ，A错误； 选项B：由③式 ，可知 的对称中心为 ，而非 ，B错误； 选项C由 可得 ， 由 关于点 中心对称，即 ， 令 ，得 ，故，即， 又 综上：，C正确； 选项D：由 关于直线 对称，得 ， 又由 为奇函数，且关于点对称， 即 ，令 ，得 ， 由 ，令 ，得 ，故 ， 由 ，令 ，得 ， 由为奇函数求导知关于直线对称，即， 由 关于直线 对称，， 由得 ，结合 ， 令 ，得 ， 又令 ，，联立得 ，故 ， 因此 ， 因为 周期为 ，一个周期内函数值之和为 ，且，故： ，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的有（   ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．若服从两点分布，且，则 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】ABC 【详解】对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误; 对于B，随机变量服从正态分布，，若， 则，根据正态分布对称性可知，，故B错误； 对于C, 若服从两点分布，则，且， 所以，所以方差，故C错误; 对于D, 当时，，由残差等于实际值减去预测值，即，故D正确. 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 【答案】AC 【分析】A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围. 【详解】A，分式不等式等价于，整理得，解得或， A正确； B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误； C，已知，则， 等号成立当且仅当，最小值为9，C正确； D，设，解得，即， 已知，则，最大值为16， D错误. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，，，，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】ABD 【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得． 【详解】函数的图象关于直线对称，开口向上，， 函数的图象关于对称，开口向下， ，，如图所示， 对于A，观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，选项A正确； 对于B，函数的零点，即方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则选项B正确； 对于C，若关于的方程有四个不等实根，，，， 不妨设， 显然有，， 所以，故选项C错误； 对于D，令，由选项B知，当且仅当时， 方程有个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则要方程在上有个不相等的实数根， 令这两个实数根为，，则，， ，由易得， 而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，故选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，的系数为____． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 13．已知，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】通过对已知条件变形，凑出乘积为定值的形式，再用基本不等式求解. 【详解】由，得：，即，则， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 14．已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将转化为，再分析可知只能是且.构造函数，求导根据单调性可知，再根据基本不等式得，结合上述两个式子，可求解. 【详解】， 即， 当时，， 所以只能是且. 令,则，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则. ,当且仅当，即时等号成立. 综上，问题转化为存在实数同时满足和（即）. 为使这样的存在，须满足，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先通过二项分布计算不同真实信号下译码为1的条件概率，再利用全概率公式结合频率估计概率构造方程求解； （2）利用条件概率公式计算求解； （3）判断服从二项分布，再利用期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件表示“真实信号为1”，事件表示“最终译码为1”， 则， 真实信号为0时，最终译码为1的概率为： ． 由频率估计概率，最终译码为1的概率为， 又真实信号为1的概率为p， 由全概率公式, 化简整理得，解得． （2）由条件概率公式，． （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取一个，其真实信号为1的概率为， 抽取互相独立，故服从二项分布． ，． 16．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)在上有一个零点；理由见解析 【分析】（1）由是奇函数得到，得到的等式，解得的值；将代入，利用奇函数的定义进行证明，从而得到结论. （2）求出函数在上单调递增，求出，，根据零点的存在性定理，得到在上有一个零点. 【详解】（1）因为，可得，即，解得； 当时，，， 故是奇函数，满足题意， 故. （2）当，可得，则， 因为在区间为单调递增函数， 所以函数在区间为单调递增函数， ，则在上恒成立， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点的存在性定理， 可得在区间上有一个零点， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上有一个零点. 17．某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联 (2) 【分析】（1）计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝“算法优化与检测准确性无关”的零假设； （2）先确定Y服从二项分布，通过相邻两项概率的比值列不等式求解概率取最大值时的k值. 【详解】（1）提出零假设：设备算法优化与检测结果的准确性无关联. 由列联表可知，， 得到， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联. （2）由题意，优化后检测结果合格的概率，则， 要使最大，需满足，， 即，解得， 由于，所以. 18．已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 19．已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【答案】(1)由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． (2)设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得； （2）多次构造辅助函数，利用导数判断相应函数的单调性，进而证明，在上单调递增； （3）分离参数转化为恒成立，由（2）的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数，利用导数分析其最小值，即可求得实数的最大值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：要使对任意，都有，等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $