山东省2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01

**基本信息** 覆盖选择性必修三及导数内容，以环保板材利润、人工智能竞赛等真实情境设计解答题，凸显数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、导数切线、二项式定理|基础概念与逻辑推理结合，如第3题导数几何意义| |填空题|3题/15分|函数奇偶性、排列组合、零点问题|多知识点交汇，如第14题含参数函数值域| |解答题|5题/77分|利润函数建模、独立性检验、导数综合|情境具时代性，如第17题人工智能竞赛概率；分层设题，如第19题导数单调性与证明|

山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 2．已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． 3．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 4．除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】B 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案． 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 5．已知随机变量，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．事件“”与事件“”相互独立 【答案】A 【分析】已知随机变量，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项. 【详解】对于A，根据方差性质得，故A错误； 对于B，由对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由，又， 所以，故C正确； 对于D，记事件，即，事件， 则，且， 又，， 所以，故事件与相互独立，故D正确. 6．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 7．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用导数求函数，的最大值，再根据条件转化为恒成立，最后利用参数分离转化为最值问题求解. 【详解】设，， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，， 即恒成立， 设，由条件恒成立， 得恒成立，即恒成立，设， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 则. 8．已知函数的定义域为，满足且，则（     ） A．1 B．-1 C．0 D．2026 【答案】C 【分析】通过赋值法得到数列是以2为周期的数列及，即可得解. 【详解】因为，， 令，则，所以，得， 令，则，所以，得， 令，则，所以，得， 所以数列是以2为周期的数列. , . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用韦达定理可得出，，且有，可判断AB选项；利用图象可判断CD选项. 【详解】对于AB选项，二次函数的图象交轴于点、， 所以方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，故，， 又因为该二次函数的图象开口向上，故，所以，A对，B对； 对于C选项，由图象可知，关于的二次函数有且只有个零点，C错； 对于D选项，由图可知，关于的一元二次不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 10．下列说法正确的有（    ） A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4 D．由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立 【答案】BC 【分析】回归分析、残差计算、非线性回归转化及独立性检验的核心概念，结合各知识点逐一判断选项正误． 【详解】对于A，经验回归方程对应的经验回归直线经过样本中心，但不一定经过其样本数据点中的一个点，故A错误； 对于B，已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为，故B正确； 对于C，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，即，故C正确； 对于D，由两个分类变量，的成对样本数据计算得到， 依据的独立性检验，故判断不独立，故D错误． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数满足，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A，构造函数，利用奇函数的定义可得为奇函数，再利用函数图象平移，即可判断A的正误；对B，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解；对C，根据选项条件，利用的对称性和单调性得，即可求解；对D，根据条件得，再通过三角换元，即可求解. 【详解】对于A，设函数，其定义域是，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，关于原点对称， 又，的图象向上平移个单位得到的图象， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为，又， 当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当时取等号， 所以恒成立，因此函数在上单调递增，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于点对称，则， 由，得到， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，故C正确； 对于D，由于， ，可知，又因为单调递增，所以，因此可得， 即，设，，则（其中）， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数是偶函数，则实数__________. 【答案】 【分析】利用函数是偶函数，可得对恒成立，计算求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 13．年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 【答案】80 【详解】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为和两类， 第一类，按分组，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法； 第二类，按，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法， 则不同的分配方法共有种. 14．设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解，即可得答案；第二空，确定每段函数的函数值域情况，结合题意，即的值域为，即可确定参数的取值范围. 【详解】时，， 当时，，令， 解得，符合题意； 当时，，此时函数无零点， 故的零点为； 当时，，在上单调递减， 则，即， 要使整个函数值域为，则时的函数值域必须覆盖， 当时，， 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 当时，，要使函数值域覆盖，只需， 综合上述可知a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 16．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【答案】(1)有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 17．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 18．已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 19．(1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】 (1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）证明：对求导得， 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 计算得，，， 由方程在内有两个不等实根，得，且. 要证，即证. 由得，且在上单调递增，故只需证. 由，故只需证，即对恒成立. 构造函数，， 代入展开化简得： 由得，故，即， 因此，则，即， 结合在上单调递增，可得，即，原不等式得证. 【分析】（1）先确定函数定义域，求导后对导函数因式分解，根据参数的不同取值分类讨论导函数的符号，进而得到函数的单调区间. （2）将函数在区间上单调递减转化为导函数非正恒成立，通过分离参数将问题转化为求函数在区间上的最小值，进而得到参数的取值范围. （3）先分析函数的单调性与极值，确定两根的分布区间，将待证不等式转化为函数值大小比较，构造对称差函数并化简，通过分析差函数的符号完成极值点偏移的证明. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得. 由得，故的符号由决定. 当时，对任意恒成立，即， 因此在上单调递减. 当时，令，解得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）函数的定义域为，求导得， 因在上为减函数，则对任意恒成立. 即对恒成立， 整理得对恒成立. 令，， 因在上单调递增且恒为正数， 故在上单调递增， 则， 故，即实数的取值范围是. （3）略 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 5．已知随机变量，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．事件“”与事件“”相互独立 6．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，满足且，则（     ） A．1 B．-1 C．0 D．2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 10．下列说法正确的有（    ） A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和4 D．由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数满足，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数是偶函数，则实数__________. 13．年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 14．设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 16．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 17．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18．已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 19．(1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $