2025-2026学年江苏省南京市八年级下学期期末数学自编练习试卷（含答案）

**基本信息** 八年级（下）期末数学练习卷，覆盖分式、二次根式、四边形等核心知识，通过翻折旋转几何题、助农应用题、课外阅读统计题及内接正方形作图题，考查数学抽象、推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|分式定义（1）、二次根式意义（2）、概率事件（4）|基础概念辨析，结合几何图形（6、8）| |填空|8/16|因式分解（12）、矩形中点四边形（14）、旋转性质（16）|综合几何性质与代数运算（15、18）| |解答|9/68|二次根式计算（19）、分式方程（20）、统计应用（22）、平行四边形证明（23）、内接正方形作图（26）|分层设计，含真实情境（22课外阅读、24助农）与创新作图（25、26），考查推理与模型意识|

八年级（下）期末数学练习卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列式子是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．使有意义的x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0 3．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，E是的中点，连接，将沿着翻折，点B与点C正好重合，则等于（　　） A．2 B． C． D．4 7．小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，是对角线上两点，，过点，分别作的垂线，与边分别交于点，．若，，则（    ） A． B． C． D． （第6题） （第8题） （第14题） （第16题） （第18题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 10．化简：__________． 11．若分式的值为，则的值为_____． 12．分解因式：_______． 13．已知长方形的宽是，它的面积是，则它的长是_____________ 14．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 15．已知，，那么代数式的值______． 16．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点B恰好落在BC边上，和CD交于点P，则的度数是______． 17．若关于的分式方程有增根，则________． 18．如图，在△ABC中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 三、解答题 19．（8分）计算：(1)； (2)． 20．（8分）解方程：(1)； (2)． 21．（7分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 请根据图表信息回答下列问题： (1) 求出频数分布表中的________，________； (2) 该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 23．（8分）如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 24．（8分）某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 25．（8分）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 26．（9分）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C A B A B 1．A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义直接判断各选项即可． 【详解】解：∵分式的定义为：若是整式，中含有字母且，则式子叫做分式， 对各选项逐一分析： A选项，分母是含字母的整式，符合分式定义； B选项，分母是常数，属于整式，不符合； C选项，分母是常数，属于整式，不符合； D选项，属于整式，不符合． 2．B 【详解】∵有意义， ∴x﹣1≥0，即x≥1． 故选B． 3．A 【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A 、，与是同类二次根式，故A选项符合题意； B 、，与不是同类二次根式，故B选项不符合题意； C 、，与不是同类二次根式，故C选项不符合题意； D 、，与不是同类二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查代数式的化简与运算，涉及分式约分、符号处理、算术平方根性质及二次根式运算．根据分式约分、算术平方根性质及二次根式运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，由翻折得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，，E是的中点， ∴， ∵将沿着翻折，点B与点C正好重合， ∴，， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．延长，交于点，过点作于点，得，，再根据全等三角形的判定与性质得，求出的长，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：延长，交于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ∥， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 9．14 【分析】根据频数，频率和总数的关系求出射中10环的频数，再利用所有分组的频数之和等于总次数，计算射中9环的频数即可． 【详解】解：由题意可知，总射击次数为． 根据频率，可得射中10环的频数为： ． 因为所有分组的频数之和等于总次数，所以射中9环的频数为： ． 10．/ 【详解】解：． 11． 【分析】本题利用分式值为的条件解题，即分子等于且分母不等于，先求出分子为时的值，再验证分母是否满足不为的条件，即可得到最终结果． 【详解】解：根据分式值为的条件，可得 由，解得 对任意实数，都有， 因此，即恒不为 所以的值为． 12． 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 13． 【分析】直接利用二次根式的除法法则计算得出答案． 【详解】长方形的长为：÷=6， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 14． 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 15． 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，将代数式变形后利用平方差公式简化计算，采用整体代入的方法求解即可. 【详解】解：，， ， ． 16．42°/42度 【分析】本题考查了图形的旋转以及三角形的内角和，求出的度数是解决本题的关键． 先由图形旋转，边长不变，角度不变，可得，再结合三角形的内角和的度数求解即可． 【详解】解：平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为： 17． 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 18． 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行二次根的加减运算． （2）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根的加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．(1) (2)原方程无解 【分析】（1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，方程两边再同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验:当时，，即不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 21．， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．(1)25， (2)2，见解析 (3)1080人 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； （2）解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充如下： （3）解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 23．(1)证明：， ， 是中点， ， 在和中， ， 则， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行线的性质、中点定义得到角及边的相等关系，再由两个三角形全等的判定与性质证得，最后由平行四边形的判定定理求证即可； （2）先由三角形内角和定理求出，过点作，由含直角三角形性质及勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质求出相关线段长度即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， 则 24．(1)这种苹果的进价是元每千克 (2)乙购买水果的总质量更大 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【详解】（1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 25．（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键． （1）作的中垂线即可； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形；方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，四边形是所在的正方形，为该正方形点的边所在的直线． 【详解】解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，点即为所求； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形； 方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，其中交于点，交于点； 连接，则，， ∴； ∵， ∴，； 同理， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴四边形是所在的正方形， ∴为该正方形点的边所在的直线． 26．(1)详见解析 (2)（Ⅰ）图见解析（答案不唯一）；（Ⅱ） 【分析】（1）利用正方形性质证明，同理，可得，推出四边形是菱形，再利用全等三角形性质推出，即可证明四边形是四边形的内接正方形． （2）（Ⅰ）利用正方形判定定理，以及全等三角形性质和判定作图即可； （Ⅱ）根据题意证明，得到，，设，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而证明四边形为矩形，结合勾股定理，以及等腰三角形性质求出，进而得到，，再根据建立方程求出，最后结合勾股定理即可解题。 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ，即． ， ． 同理，可得， 四边形是菱形． ， ． 在中，， ， ， 菱形是正方形， 即四边形是四边形的内接正方形． （2）解：（Ⅰ）如图③，正方形即为所求． 方法一：                                            方法二：                  文字说明： 方法一：1．连接，交于点O；构造与共中心的正方形，顶点分别在直线，上，，分别与，交于点E，G； 2．在，上分别截取F，H，使，； 3．连接，，，即为正方形． 方法二：1．连接，交于点O； 2．过O作，垂足为P； 3．过O作，且； 4．过Q作，交于点E； 5．在上截取； 6．连接，并延长，分别交，于点G，F，连接，，，．（方法不唯一，也可在上适当位置取点P，作图依次按，，，确定点E，H后，作出正方形即可．） （Ⅱ）解：的内接正方形为， ，， ， ， ， ，， 由作图过程可知，， 设， 连接，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， 则正方形边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形性质和判定，复杂作图，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $