精品解析：2026福州十六中九下三模数学

福州第十六中学教育集团2025-2026学年第二学期 九年级六月适应性训练 数学试题 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 【答案】B 【解析】 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆柱． 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴移项得 ， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 将左边整理为完全平方形式，得， 即方程配方后的形式是． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的基本运算法则与合并同类项的法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，A错误； B、合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，故，B错误； C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，故，C正确； D、积的乘方，等于各因式分别乘方后再相乘，，D错误． 7. 某商场某店一天中卖出某种品牌的休闲鞋双，它们的尺码与销售量如表所示： 尺码/ 销售量/双 则这双鞋的尺码组成的数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将这双鞋的尺码按从小到大的顺序排列，根据中位数的定义即可求解． 【详解】解：根据题意，将这双鞋的尺码按从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，， ∵这组数据共有个，是奇数，， ∴中位数是从小到大排列后第8个数据， ∴这组数据的中位数是26． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据梨的总数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选：C． 9. 若一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由图象确定、的符号，计算的值即可判断根的情况． 【详解】解：由一次函数的图象可知，图象经过第一、二、四象限，   ∴，， 在方程中， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 10. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），记该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则可用含l，d的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据有24枚邮票可得每个扇环所在扇形的圆心角为，设“下圆弧”所在圆的半径为，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由于一共有24枚邮票， 则每个扇环所在扇形的圆心角为， 设“下圆弧”所在圆的半径为， 则“上圆弧”的长， 即， “下圆弧”的长， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是____________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当时，，则由不等式的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴当时，， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【解析】 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 14. 某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 【答案】14.5 【解析】 【分析】根据扇形统计图获取各价格简餐的销售百分比，将其作为权重，代入加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解：由扇形统计图可知， 价格为元、元、元的简餐销售占比分别为、、， 根据加权平均数的计算公式，得 ． 15. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据正切的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， 是直径， ， ， 由网格可知，， ． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，其中为常数且．若，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式整理为一元二次不等式，因式分解求解对应一元二次方程的根，根据判断两根大小，利用二次函数的性质得到一元二次不等式的解集，再结合已知条件排除不成立的解集，即可得到的取值范围． 【详解】解： 令 因式分解得 解得， ，即 设， ∵二次项系数为， ∴二次函数开口向上， ∴当时，或，即或， ，且， ∴与无公共解，舍去， 故的取值范围为． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 18. 如图，和分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，，．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】欲证明，只要证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 20. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． （1）从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． （2）从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确总结果数和符合条件的结果数，再用概率公式计算； （2）先列出所有取点的组合情况，再根据平行四边形的判定条件筛选出符合的组合，最后计算概率． 【小问1详解】 解：∵从，，三点中随机取一点，一共有3种等可能的结果， ∴选中点的概率． 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种， ∴所画四边形是平行四边形的概率． 21. 如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【解析】 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形中，，，是边上的一点，点在边上，，且满足． （1）请用无刻度的直尺和圆规在所给的图中作出符合条件的点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交于点P（满足），根据，，可推出，则点P在以为直径的圆上，故点P即为所求； （2）可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，且 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，两点， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 24. 我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形”． （1）如图①，四边形ABCD是“求真四边形”，AD//BC，若（），请用含的代数式表示； （2）如图②，AB是半圆O的直径，点C，D，E在半圆上（点C，D，E按逆时针排列），AC，BE相交于点F．若，求证：四边形DEFC是“求真四边形”； （3）在（2）的条件下，连接DF，已知，若△CDF与△BCF相似，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图1， 延长DE至G，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠DEF+∠AEG=90°， ∵四边形ACDE内接于⊙O， ∴∠AEG+∠DCF=90°， ∵， ∴∠EAC=∠CBE， ∵∠DCA=∠CBE， ∴∠AEG=∠EAC， ∴DECF， ∴四边形DEFC是“求真四边形”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质得出：∠D=180°-∠C，进而得出结果； （2）延长DE至G，连接AE，可推出∠DEF+∠AFG=90°，∠AGE+∠DCF=90°，进而得出∠AEG=∠EAF，进一步得出结果； （3）根据题意可得，则△CDF与△BCF相似只有或2种情况，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是求真四边形， ∴∠A+∠C=90°， ∴∠C=90°-∠A=90°-α， ∵ADBC， ∴∠C+∠D=180°， ∴∠D=180°-（90°-α）=90°+α； 即 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴∠EAC=∠CBE， ∴∠EAC=∠DCA， 当△CDF与△BCF相似，可分成两种情况， 或， 是直径， ，， ①当时，，如图，连接AE，BC， ∠EAF=∠DCF，∠CDF=∠AEF=90°， ， ， ， ， ， ∴△AEF≌△CDF（ASA）， ∴AF=CF， ， 设，，则，， ∠EAF=∠CFB，， ， ， 即， 解得， 即， ②当时，∠DFC=90°时， 设CD=AE=a，EF=b，则，， 如图， 同理可得，， ，， ， ，， ， 即， 解得， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了几何新定义，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，分类讨论理解新定义是解题的关键． 25. 我们知道，任意一个，如果，则两条直角边，和斜边满足勾股定理（亦即）．如果，则上述关系就不再成立．班级数学研究小组对非直角三角形的三边平方的数量关系开展了进一步的探究． 定义：在任意三角形中，一个角的两条夹边的平方和减去它的对边的平方所得的差，叫做角的勾股差，记为． 定义2：如图，在中，是边上的高，则称线段的长度为边在边上的投影． 研究小组发现，对于非直角三角形的任一内角，其勾股差与夹这个角的两边及投影存在一定的数量关系． 情况①：如图，当时，过点作于点． 在和中，由勾股定理，分别得： ，． … ． 情况②：如图，当时，________． 得到了上述勾股差的投影表示法后，研究小组利用其进一步研究了平行四边形的四条边及对角线之间的数量关系． （广义勾股定理）如图，已知四边形是平行四边形．求证：． （1）在中，，，的对边分别为，，，若，，，则________，________，________． （2）请将上述情况①中的证明过程补充完整，并直接写出情况②中与，的数量关系． （3）请写出广义勾股定理的证明过程． （4）如图，在中，，，，是边上的中线，请直接写出的长． 【答案】（1）33；65； （2）情况①：如图，当时，过点作于点． 在和中，由勾股定理，分别得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 情况②：； （3）证明：如图所示，过点A作于点G，过点B作交的延长线于点H， 由题意得，， ∴由（2）可知， ， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ； （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股差的定义求解即可； （2）情况①：根据题意可得，则可证明，根据线段的和差关系可得，据此可得，再由勾股差的定义可得； 情况②：同理可推出，再由勾股差的定义可得； （3）过点A作于点G，过点B作交的延长线于点H，由（2）可知，，证明四边形是矩形，得到，即可证明； （4）延长到点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，由（3）可知，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； ； ； 【小问2详解】 解：情况①：略； 情况②：如图，当时，过点作交的延长线于点． 在和中，由勾股定理，分别得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图所示，延长到点T，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴由（3）可知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十六中学教育集团2025-2026学年第二学期 九年级六月适应性训练 数学试题 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场某店一天中卖出某种品牌的休闲鞋双，它们的尺码与销售量如表所示： 尺码/ 销售量/双 则这双鞋的尺码组成的数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况无法确定 10. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），记该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则可用含l，d的式子表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是____________． 13. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 14. 某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 15. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，其中为常数且．若，且，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，和分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，，．求证． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． （1）从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． （2）从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 21. 如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 22. 如图，在矩形中，，，是边上的一点，点在边上，，且满足． （1）请用无刻度的直尺和圆规在所给的图中作出符合条件的点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 24. 我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形”． （1）如图①，四边形ABCD是“求真四边形”，AD//BC，若（），请用含的代数式表示； （2）如图②，AB是半圆O的直径，点C，D，E在半圆上（点C，D，E按逆时针排列），AC，BE相交于点F．若，求证：四边形DEFC是“求真四边形”； （3）在（2）的条件下，连接DF，已知，若△CDF与△BCF相似，求的值． 25. 我们知道，任意一个，如果，则两条直角边，和斜边满足勾股定理（亦即）．如果，则上述关系就不再成立．班级数学研究小组对非直角三角形的三边平方的数量关系开展了进一步的探究． 定义：在任意三角形中，一个角的两条夹边的平方和减去它的对边的平方所得的差，叫做角的勾股差，记为． 定义2：如图，在中，是边上的高，则称线段的长度为边在边上的投影． 研究小组发现，对于非直角三角形的任一内角，其勾股差与夹这个角的两边及投影存在一定的数量关系． 情况①：如图，当时，过点作于点． 在和中，由勾股定理，分别得： ，． … ． 情况②：如图，当时，________． 得到了上述勾股差的投影表示法后，研究小组利用其进一步研究了平行四边形的四条边及对角线之间的数量关系． （广义勾股定理）如图，已知四边形是平行四边形．求证：． （1）在中，，，的对边分别为，，，若，，，则________，________，________． （2）请将上述情况①中的证明过程补充完整，并直接写出情况②中与，的数量关系． （3）请写出广义勾股定理的证明过程． （4）如图，在中，，，，是边上的中线，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $