第9讲 函数的对称性及其应用 课后分层作业 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦函数对称性，分层设计从基础奇偶性到综合周期性应用，构建知识逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯基础·保本科|7题|对称性判断、奇偶性应用|从奇函数定义到对称性概念生成，建立基础关系| |提能力·冲211|3题|对称性与周期性综合|推导对称性与周期的内在联系，拓展应用场景| |迎挑战·搏985|1题|奇偶性、对称性、单调性综合|整合多性质，深化逻辑推理与问题解决能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 答案与解析 第9讲 函数的对称性及其应用 练习时间：30分钟　 总分：58分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·河南·二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，函数为上的奇函数， 所以，则，所以， 函数与的图象关于点对称， 则，即， 所以. 2．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 4．（24-25·河北·期末）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的图象关于点对称，所以①， 令，可得，所以． 由①可得， 化简得，要使得该等式恒成立，则． 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）已知定义域均为的函数满足，若，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于轴对称 B．-8为的一个周期 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，所以， 由可得，， 所以，即，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，A正确； 对于B：由，可得， 所以，又，所以， 所以，所以，即的一个周期为4， 所以是的一个周期，B正确； 对于C：因为的周期为4，所以. 令，则，得； 令，则，又， 所以，即，C错误； 对于D：，，又由及， 可得. 又，所以. 因为周期为 所以，D正确. 6．（24-25·湖南常德·期末）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 【答案】 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称. 7．（24-25·广东云浮·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】当，且时，都有成立，则在R上单调递增． 又是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称． 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为． ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 8．（24-25·湖南·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 【答案】C 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为， 所以 因为，所以. 所以. 9．（24-25·广东汕尾·期末）（多选）已知函数的定义域为R，的定义域为R，，且满足，．下列说法正确的是（    ）． A．的周期为4 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【详解】由，得到， ，将替换为，则有， 故，则， 故关于对称； 由， 故对任意成立，令可得， 则，将替换为，故， 所以关于对称； 对于选项A：， 则， 将替换为，所以， 故，故的周期为4，故A正确； 对于选项B：由，将替换为， 则， 故的图象关于对称，故B正确; 对于选项C：，故关于对称，故C错误； 对于选项D：由， ，周期为, 令，，, 令，，, 由，令，, 又关于对称，故， 故, 所以， 故D正确. 10．（24-25高三上·福建·阶段检测）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则__________. 【答案】621 【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故； 由函数为奇函数，则，整理可得，即函数关于对称，故； 由，则，可得， 故，解得，， . ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 11．（25-26·广东深圳·期中）（多选）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； 对于B，因为为偶函数，所以， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，而，得到， 则，而，即， 可得，故， 得到是周期为4的周期函数， 由周期性可得，故C错误， 对于D，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，由中心对称性可得在上单调递增， 由轴对称性可得在上单调递减， 由中心对称性可得在上单调递减， 由周期性可得在上单调递减， 则函数在上单调递减，故D正确. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 第9讲 函数的对称性及其应用 练习时间：30分钟　 总分：58分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·河南·二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 4．（24-25·河北·期末）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）已知定义域均为的函数满足，若，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于轴对称 B．-8为的一个周期 C． D． 6．（24-25·湖南常德·期末）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 7．（24-25·广东云浮·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______． ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 8．（24-25·湖南·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 9．（24-25·广东汕尾·期末）（多选）已知函数的定义域为R，的定义域为R，，且满足，．下列说法正确的是（    ）． A．的周期为4 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D． 10．（24-25高三上·福建·阶段检测）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则__________. ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 11．（25-26·广东深圳·期中）（多选）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $