第2章 第11讲 指数与对数运算(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 分层设计指数对数运算训练，以题载法构建“概念辨析-性质应用-实际建模”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题（含多选、填空）|聚焦定义辨析与基本运算，如对数方程求解、指数幂运算|从指数对数互化切入，夯实运算律与换底公式应用| |综合运用练|3题（含解答、多选）|综合性质应用与实际问题，如温度衰变模型、代数式化简|衔接概念与实际，培养模型意识与逻辑推理| |创新拓展练|2题（多选、开放题）|结合放射性衰变公式与假命题构造，突出批判性思维|深化数学语言表达，体现跨学科应用价值|

课时分层测评13　指数与对数运算 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　) A.11 B.12 C.16 D.17 答案：D 解析：因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＝9，y＝8，所以x＋y＝17.故选D． 2.(2026·四川乐山模拟)已知2lg 2＝m，10n＝3，则1的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由2lg 2＝m可得1＝2.又因为10n＝3，所以1＝＝＝.故选B. 3.(2026·河南南阳模拟)已知a＞0，b＞0且ab＝4，则(　　) A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C.2a·2b＝16 D．b＝16 答案：D 解析：依题意，得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定，对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2，对于D，b＝2ab＝16.故选D． 4.(2026·四川成都模拟)把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ'℃，空气的温度是θ0℃，则t min后该物体的温度θ ℃满足θ＝θ0＋(θ'－θ0).将温度分别为20 ℃和40 ℃的两块物体放入温度为30 ℃的空气中，要使两块物体的温度之差不超过10 ℃，至少要经过(　　) (取：ln 2＝0.69) A.1.38 min B.2.76 min C.4.14 min D.5.52 min 答案：B 解析：20 ℃的物体经过t min后的温度为θ1＝30＋＜30，40 ℃的物体经过t min后的温度为θ2＝30＋＞30.依题意可得θ2－θ1＝30＋－≤10，即≤，解得t≥4ln 2＝2.76，所以要使两块物体的温度之差不超过10 ℃，至少要经过2.76 min.故选B. 【教师备选】　(2026·河北石家庄期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，那么污染物减少大约需要花费(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A.55 h B.60 h C.64 h D.65 h 答案：B 解析：由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，那么P＝P0·0..因为污染物减少，所以P0＝P0·0.，所以＝log0.9＝，所以t＝＝≈＝60.所以污染物减少大约需要花费60 h.故选B. 5.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A．－＝－2 B．若a＋＝14，则＋＝4 C．若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D．若4a＝6b＝9c，则＋＝ 答案：AB 解析：对于A，－＝－＝－＝－2，故A正确；对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，故B正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，故C不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，故D不正确.故选AB. 6.(多选)(2025·江苏南京模拟)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是(　　) A．＝2b B．a·eln a＝b C．b＝2a D．log2a＝log8ab 答案：BD 解析：由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不一定成立，故C错误；由于＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，故A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，故D正确.故选BD. 7.(2026·江西萍乡模拟)已知＝，则x0＋ln＝　　　　. 答案：ln 3 解析：依题意，ln＝ln x0－x0＝－ln－x0＝－ln 3，故x0＋ln＝ln 3. 8.(多题同解)(1)(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　． (2)(2026·湖北孝感模拟)已知logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝　　　　． 答案：(1)64　(2)9 解析：(1)依题意，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6.又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. (2)显然a＞0且a≠1，b＞0且b≠1.设t＝logba，代入logab＋logba＝，可得t＋＝，即3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.若t＝3，则logba＝3，即a＝b3.又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝，a＝3，所以ab＝9；若t＝，则logba＝，即a＝.又因为ab＝ba，所以＝ba，则a＝b，故b＝，解得b＝3，故a＝b＝，故ab＝9. 9.(10分)(1)已知＋＝3，计算：； (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 026＋2 026的值. 解：(1)因为＋＝3，所以＝9， 即x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7， 所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. (2)由题意a＝＋－ ＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 026＋2 026＝lg 12－(－1)2 026＋2 026＝0－1＋2 026＝2 025. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2026·浙江嘉兴模拟)若实数a，b满足eae2b－1＝1，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为eae2b－1＝1，所以ea＋2b－1＝e0，即a＋2b＝1，故ab＝b＝－2＋≤，即ab≤，当且仅当b＝时等号成立，故ab的最大值为.故选D. 11.(多选)(2026·安徽六安模拟)已知a＝log210，b＝log3，则(　　) A．ab＜0 B.4a·9b＝1 C．－＞1 D．log56＝ 答案：ABD 解析：对于A，因为a＝log210＞log21＝0，b＝log3＜log31＝0，所以ab＜0，故A正确；对于B，因为4a·9b＝·＝＝＝1，故B正确；对于C，因为－＝lg 2－＝lg 6＜lg 10＝1，故C错误；对于D，因为＝＝＝＝log56，故D正确.故选ABD. 12.(15分)已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 解：(1)f(4)－5f(2)g(2)＝－5×× ＝－＝－＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝－＝0. (2)由此概括出对所有不等于0的实数x都有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x)＝－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. (每小题5分，共10分) 13.(多选)已知放射性物质质量随时间t的衰变公式N(t)＝N0，N0表示物质的初始质量，τ是一个具有时间量纲的数.半衰期T指的是放射性物质质量从初始质量到衰变成一半所需的时间，已知铀234、铀235、铀238对应的τ的取值分别为35.58万年，10.2亿年，64.75亿年.若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(取ln 2＝0.7)(　　) A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1＞T2 D．T3＞10 000T1 答案：BD 解析：依题意，得N0＝N0，故ln＝－，所以T＝τln 2，故A错误；T与τ成正比例关系，且在定义域上单调递增，故B正确；由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1＜T2，故C错误；T3＝6.475×109ln 2，T1＝3.558×105ln 2，故＝＞1，故D正确.故选BD. 14.(开放题)(2026·北京东城模拟)能说明“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”是假命题的一组正实数a，b的值是　　　　． 答案：a＝2，b＝(答案不唯一) 解析：假设命题“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”为假命题，只需要找到一组正实数a，b，满足a＋b＞2且lg a＋lg b≤0.根据对数的加法公式可知：lg a＋lg b＝lg.若ab≤1，则lg a＋lg b＝lg≤0.假设a＝2，b＝，则⇒所以存在正实数：a＝2，b＝使得“若ab≤1，则lg a＋lg b＝lg≤0”成立，即“若a＋b＞2，则lg a＋lg b＞0”是假命题.故答案为a＝2，b＝(答案不唯一). 学生用书⬇第44页 学科网（北京）股份有限公司 $