四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期第六次周考数学试卷

2024级高二下期第六次周考 命题人：杨华芳审题人：朱晓芸 一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.若C=C(x∈N),则A5=（) A.45 B.20 C.135 D.120 2.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),若P(X≥3)=03，P(a≤X≤3)=0.4，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到 成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示.依据小概率值x=0.001的独立性检验，分析睡前阅读是 否会有助于睡眠质量 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30. 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 nad-be)" X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 临界值表： e 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 Xa 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 则下列说法正确的是( A.依据心=0.001，有把握认为99.9%的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B.依据a=0.001,有把握认为0.1%的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C.依据α=0.001，有99.9%的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D.依据ax=0.001,有0.1%的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 4.已知(1+ax)(1+x)的展开式中x2的系数为5，则a=() A.4 B.3 C.-2 D.-1 5.1000的不同正因数个数为() A.16 B.12 C.10 D.8 试卷第1页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 6.已知f()是函数f(倒的导函数，且x∈0，f()oax>f()s血（←x).则下列不等式一定成立的 是( ) A.5f眉( B.<oos c. D.25fml>f刊 7.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法 正确的是( A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有5种不同的放法 B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C将书分给3位不同的学生，其中一人1本，.一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D.现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的 不同的排法有120种 8.若函数f(x)=ax-血x在区间(1,2)上存在减区间，则实数a的范围是( A.（-oo,1) c（ D.(-o,] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() Ax=1是f(x)的极值点 B.x=-3是f(x)的极大值点 =f(x) C.f(x)的单调递减区间是[-3，-1] D.f(0)>f(I 10.下列说法正确的是（ A.若☑越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 B.回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽 度越窄表示拟合效果越好 C.在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍，则x2也变成原来的2倍 D.决定系数R2用以比较两个模型拟合效果，若越小，则模型的拟合效果越好 试卷第2页，共4页 ▣减口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 11.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一 件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子 打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率， 现在已知甲选择了1号箱，用4表示i号箱有奖品(i=1,2,3,4),用B,表示主持人打开j号箱子()=2,3,4)， i≠广，下列结论正确的是() AP(a14)- B.若j=3，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 c.() D.若了=3，且甲更改选择，则他获奖的概率为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量XB3,4 则D(X)= 的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 (用 数字作答) 14.已知x,x2分别是函数f(x)=血x+bx的极小值点和极大值点，若：>x2,则°的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤 15.(本题共13分)为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进 行改进.如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位： 万元)的散点图 模型①由最小二乘法可求得y与x的经验回归方程为=2x+3; 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线)=nx+a的附近，令t=lnx,则)=t+a,且 有=22y=2452M=623,22-524.参考公式与数据： -nty 6= ,a=-y-2,lh2≈0.69，h5≈1.61 年利润增量万元 (I)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归 105 方程： 03201 (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40 105 万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更 01234567891011121315161781920投资金额，x万元 好. 试卷第3页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣H女 16.(本题共15分)已知在数列{，}中，4=24-2+ 2a, (1)证明{ 是等差数列，并求{a}的通项公式； (2)设bn=(-1)”(2n+1)anan1,数列{色，}的前n项和为Sn，求S2m· 17.(本小题共15分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，棱长为2，P为棱BC的中点，2为平面4ABB D 内的一点，在△APQ中，已知BQ=AQ；PQ=2. (I)求证：P2/1平面A4CC; B1 (2)求点Q到平面4CP的距离. 18.（本小题共17分)设抛物线C:y2-2x(p>0)的焦点为F,过F的直线1与抛物线交于A,B两点， (1)若直线的斜率为1时，AB=4,求抛物线C的方程； (2)利用(1)中的抛物线方程，若A关于x轴的对称点为D,求证：直线BD恒过定点，并求出该点的 坐标. 19.(本小题共17分)已知函数f(x)=xx-x2 (1)求函数f'(x)的单调区间； (2)若f(x)≤mx恒成立，求实数m的取值范围： ⑧证明：16+是 试卷第4页；共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同书 《2024级高二下第六次周考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 答案 D D A C BC ABC 题号 11 答案 ACD 8.A【详解】函数f)=am-lhx的定义域为(0，∞)，求导得∫x)=a-上.函数fx)在区间 (1,2)上存在减区间， 等价于存在x∈(1,2)，使得f(田)<0成立，即a<上在x∈L,2)上有解」 当x∈(1,2)时， 故a<1,即实数a的取值范围是(-o,). 1山.ACD【详解】奖品在1号箱里，主持人可打开23,4号箱，故P(B4)=子，故A正确： 奖品在1号箱里，主持人可打开2,34号箱，故P(么4)= 奖品在2号箱里，主持人只能打开3,4号箱，故P(84)=, 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故P(B4)=0, 奖品在4号箱里，主持人只能打开2,3号箱，放P(,14)=2 由全概率公式可得：P()-立(0（到利-得0） 故C正确； 对于B、D,(1)若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 1.1 P(4B)= (4B)P®4)P4)-341 P(B,) ∑P(A)P(B4) 14 (2)当甲更改选择时 1.1 若甲改选2号箱，甲中奖的概率为P(A2B,)= (A,B)-P(BM)P4)243 P(B,) ∑P(4)P(B,4) 1 11 若甲改选4号箱，甲中奖的概率为P(A,B)= P(4B,)P(B,H)P(A) 243 P(B) ∑P(A)P(BA) 1 8 3 又甲更改选择时，选2号箱或4号箱的概率为)， 因此甲更改选择我美的瓶率为宁+行放D正确 答案第1页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 而P(4区，)3=P(4,风，)，即甲改选2号箱与改选4号箱的中奖概率一样，故B错误 13.-160 14. 【详解】法一：因为f'(x)=a(1+lnx)+2bx, 若函数有极大值点和极小值点，则y=a(1+lnx)与y=-2bx至少有两个交点， 如下图，因为x,x2分别是函数f(x)的极小值点和极大值点，所以由图易知a<0. 记y=-2bx恰与y=a(1+lnx)相切时，切点为 -26m=a(1+In m) y-a(I+lnx) (m,-2bm),则有 -2b= ,解得m=1, m 此时a=-2b 由题意和图徐分析可知a<-2b<0,又a<0,所以2（位小 法二：f'(x)=a(I+lx)+2bx,函数有极大值点和极小值点，'(x)=0有两正实根. 即-台-1有两实，令g6=中如四，则g0=是放易如g(在(Q小上单调地省， a 2x 2x 在+m)上单调递减又g0=方x→0，g)→0：x→+m,g()→0. 所以(0 经检验a<0时，符合题意. 15.【详解1(1)由》5=22 ò24=22=5 2少=245，得7=19， 102=245， y-y 则6= 62310x22x245421,a5y-5=245-21x22=2☑ 2-m 52.4-10×2.22 所以模型②中y关于x的经验回归方程为)=21x-21.7. (2)模型①，=2x+3,当x=20时，年利润增量=2×20+3=43， 模型②，=21lnx-21.7,当x=20时，n20=2n2+n5≈2×0.69+1.61=2.99， 因此年利润增量=21×2.99-21.7=41.09，而41.09-40=1.09<343-401， 所以模型②的预报效果更好， g2a。gn2,即-11 16.【详解K①因为1十。由题意知4，≠0，所以1=2+凸=+。 aan2’ 故数列 是以子为公差的等差数列.又4=2，所以 a. 42 答案第2页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 所以+(-，即月 .2 e,8-(raa-r- 则s=4+升r[合引+2前=41+) 41-2n-1.8m 2n+1 2n+1 17.【详解】(1)以4A为原点，建立如图空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),4(0,0,2),C(2,2,2) B 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0) 因为Q为平面AABB内的一点，且B2=AQ,所以可设2(1,0，)， 0≤t≤2.因为P0=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-)2=4→t=√2 所以Q1,0,2)所以PO=(-1,-1,V②)又因为BD⊥AC,BD⊥A4,AC,A4c平面A4CC, 且AC∩A4=A,所以BD1平面A4CC.所以BD=(-2,2,0)为平面AACC的法向量. 因为Pg·BD=(（-1,-1,2)(2,2,0)=0,且P2￠平面A4CC,所以P21平面AAC,C. (2)因为4C=(2,2,0)，4P=(21,-2)设平面4CP的法向量为m=(xy,z)， m14G多m:4G=2x+2y=0 则 令x=2可得m=(2,-2,1）、 m⊥AP (m4P=2x+y-22=01 所以P2m=（-1,-12)2,-2,1)=2 POm √2 迈 所以2点到平面AC,P的距离为 网22+-2+31 18.【详解】()设焦点F的坐标为[？0则1的方程为y=-子，代入抛物线)产=2x得 2-x+写=0，设，6.则+名=0，青出=若 由抛物线的定义知AB=x+x2+p=3p+p=4p,又AB=4.∴4p=4,则p=1, 抛物线C的方程为y2=2x, (2)由于A关于x轴的对称点为D,则D的坐标为(：，-y) 答案第3页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣号 那么直线BD的解率为K0+五=+兰。2 x-为业-上y-为： 22 直线BD的方程为y+y=2-x),即0，-)y+%-=2x-24, 2-片 2=2x,=子(0户=4%=1，即=-1（因为片，片异号）， 直线80的方程为2》+0，-少-0，恒过】 19.【详解】(1)函数f()的定义域为(0，+o）,f'(x)=1+lmx-2x(x>0), 令e)-1+-2x(e>0,80倒-士2-12-0x= 所以0<x<时，g()>0,g(x)单调递增，x>时，g()<0,g()单调递减， 即系数了)的单调莲摊区间为引单调递减区间为合 @因为>0,5恒欧业，印[血兰L =[x-习 令)=血x-x(x>0）,d()=-1=1二=0→x=1,所以u女)在(0，单调递增，亿+四) 单调递减，(x)nx=u(0)=-1,∴m2-1. 6)运明：由2蜘但--，要E创e+是，即证<6+号是 等价于-2x+e+>0台(-2xe+2>0, x'e* 又e>x,所以(x-2x+1)e*+x2>(-2x+1e+x2=xkR-x+1) 令y=-2x+16c>0）,M()=3x-2=0→x=5, 3 e-9}2g5s1-9a, 0 即(x2-2x+1)e2+x2>x6-x+1>0, 即x<6+子散闪k。+日政立 x2 x 答案第4页，共4页 ▣紫▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣