精品解析：广东深圳市福田区莲花中学2025－2026学年第二学期九年级模拟数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级模拟考试 数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将准考证号和选择题用2B铅笔涂黑． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的应用，理解相反意义的量是解题的关键．进球和失球是相反意义的量，进球记为正数，则失球记为负数，据此回答即可． 【详解】解：∵进3个球记作个， ∴失2个球应记作个． 故选：． 2. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”、“立夏”、“秋分”、“小雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意. 3. 某社区全民健身器材采购花费32000元，32000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：32000用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并法则、幂的乘方法则、单项式乘法法则、完全平方公式逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：∵ 与 不是同类项，不能合并， ∴ A错误； B选项：∵ 根据幂的乘方法则，， ∴ B错误； C选项：∵ ，计算符合单项式乘法法则， ∴ C正确； D选项：∵ 根据完全平方公式，， ∴ D错误． 5. 骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得出的度数，再结合求出，最后由得出的度数即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， . 6. 如图，中，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，确定，再根据正弦函数的定义进行计算即可. 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， . 7. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据“甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同”这一等量关系，结合甲、乙制作每件手工艺品的时间列出方程． 【详解】解：∵甲制作一件手工艺品需要小时，甲制作一件比乙多花4小时， ∴乙制作一件手工艺品需要小时， ∵工作数量总工作时间制作每件的时间，且甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同， ∴可列方程为， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的性质得出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由折叠可知：，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：参赛小组总人数为人， 其中港澳学生人数为人， ∴恰好抽到港澳学生的概率为. 11. 无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为，将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵平移前点的坐标为，向右平移个单位， ∴平移后横坐标为，纵坐标不变仍为， ∴平移后对应点的坐标为. 12. 如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接对角线，利用菱形面积与反比例函数系数的几何意义建立等量关系求解即可. 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ，  点在反比例函数的图象上，  ， ， 菱形的面积是4，且菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，  ， ， ； 双曲线位于第二象限， ， . 13. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 学校组织七、八年级学生参加了“校园安全知识”测试（满分100分）．已知七年级有600人参加，八年级也有600人参加，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______， 小畅同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断小畅同学是______（填“七”或“八”）年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握校园安全知识的水平较好？请给出一条理由， 【答案】（1），，七 （2）人 （3）我认为八年级的学生掌握校园安全知识的水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握校园安全知识的水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 第5个和第6个数据分别为84和86，故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， 小畅同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． 【小问3详解】 略 17. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】（1）A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 （2）要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【小问1详解】 解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． 【小问2详解】 解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 18. 如图1，中，． （1）尺规作图：作的平分线射线BO，交于点O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，如图2，以点O为圆心，以的长为半径画，证明：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的半径r． 【答案】（1） （2）证明：作，如图， 由题意可得，平分，，， ∴， 又∵为半径， ∴为半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的尺规作图方法，作出的角平分线即可； （2）作，根据角平分线的性质可得，，从而得到为半径，即可求证； （3）根据可设，则，根据勾股定理可得，可得，则，，根据题意可得，，则，得到，则，设，则，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，, 则， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）， 则，， 根据题意可得，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得，，即， 解得． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及了角平分线的尺规作图以及性质，圆切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作图方法，根据三角函数的定义表示出． 19. 如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）【类比探究】 如图1，小明类比平行四边形性质进行研究，得出如下结论（填“是”或“否”）： ①平行六边形的三组主对边是否相等？结论：______； ②平行六边形的三条主对角线是否互相平分？结论：______． （2）小明还想研究平行六边形的三组主对角是否相等，如图2，他给出了两种证明方法，请选择其中一种证明方法，帮他将证明过程补充完整： 选择方法______（填写“1”或“2”） 方法1：证明：如图，连接，∵，∴______．（______） ∵，∴______．∴，即______ 同理可证，______， ∴平行六边形的三组主对角分别相等． 方法2：证明：如图，延长交于点M，∵，∴______（______） ∵，∴______．∴______． 同理可证，______，∴平行六边形的三组主对角分别相等． （3）【菱六边形】 六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图3，已知平行六边形满足，求证：平行六边形是菱六边形． 【答案】（1）否，否 （2）1；；两直线平行，内错角相等；；；； 2；；两直线平行，同旁内角互补；；；； （3）证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 【解析】 【分析】（1）连接，观察图形即可得出结论； （2）根据平行线的性质和角的和差关系作答即可； （3）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形． 【小问1详解】 解：连接，交于点， 由图可知，平行六边形的三组主对边不相等，三条主对角线也不互相平分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 【情境导入】 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度 ， ，碗口宽，茶盖的最高点D离的距离 ，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）； 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（______，______），A点的坐标（______，______），并求碗体的抛物线解析式； （2）任务二：如图2，若圆弧线是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标； （3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由处下降了至线段处，求此时水面的宽度． 【答案】（1），；； （2）圆的半径为，圆心M的坐标为， （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，由已知条件即可得出点坐标，根据抛物线顶点可设抛物线解析式为，将点代入即可求出值，即可得抛物线的解析式； （2）设圆心M的坐标为，圆的半径为，根据在中，，列方程即可求解； （3）由处下降了至线段处，即所在的直线，求出此时直线与抛物线交点，进而得出、两点之间的距离. 【小问1详解】 解：∵，是的中点， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ， ， ∴， ∴C点的坐标为, 设碗体的抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 即碗体的抛物线解析式为， 【小问2详解】 解：如图2， 设圆心M的坐标为，则圆的半径为， ∵在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为，， 答：圆的半径为，圆心M的坐标为． 【小问3详解】 解：由处下降了至线段处，即所在的直线， 当时，解得， ∴，， ∴， 答：水面的宽度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级模拟考试 数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将准考证号和选择题用2B铅笔涂黑． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”、“立夏”、“秋分”、“小雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某社区全民健身器材采购花费32000元，32000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 10. 深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为______． 11. 无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为，将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为______． 12. 如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是4，则k的值为______． 13. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 学校组织七、八年级学生参加了“校园安全知识”测试（满分100分）．已知七年级有600人参加，八年级也有600人参加，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______， 小畅同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断小畅同学是______（填“七”或“八”）年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握校园安全知识的水平较好？请给出一条理由， 17. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 18. 如图1，中，． （1）尺规作图：作的平分线射线BO，交于点O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，如图2，以点O为圆心，以的长为半径画，证明：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的半径r． 19. 如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）【类比探究】 如图1，小明类比平行四边形性质进行研究，得出如下结论（填“是”或“否”）： ①平行六边形的三组主对边是否相等？结论：______； ②平行六边形的三条主对角线是否互相平分？结论：______． （2）小明还想研究平行六边形的三组主对角是否相等，如图2，他给出了两种证明方法，请选择其中一种证明方法，帮他将证明过程补充完整： 选择方法______（填写“1”或“2”） 方法1：证明：如图，连接，∵，∴______．（______） ∵，∴______．∴，即______ 同理可证，______， ∴平行六边形的三组主对角分别相等． 方法2：证明：如图，延长交于点M，∵，∴______（______） ∵，∴______．∴______． 同理可证，______，∴平行六边形的三组主对角分别相等． （3）【菱六边形】 六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图3，已知平行六边形满足，求证：平行六边形是菱六边形． 20. 【情境导入】 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度 ， ，碗口宽，茶盖的最高点D离的距离 ，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）； 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（______，______），A点的坐标（______，______），并求碗体的抛物线解析式； （2）任务二：如图2，若圆弧线是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标； （3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由处下降了至线段处，求此时水面的宽度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $