精品解析：2026年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学考前测试 卷

2025-2026学年第二学期九年级第三次调研测试试题 数学卷 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔，按作答题目的序号，写在答题卡相应位置． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各大商标Logo中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“生”字一面相对的字是（ ） A. 率 B. 效 C. 就 D. 命 3. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 老师随机抽查了本班20名学生本学期阅读课外书册的情况，绘制成如下的条形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则此次调查册数的中位数为（ ） A. 5.45 B. 6 C. 5 D. 5.5 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（ ） A. B. C. D. 7. 如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. “明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（ ）米．（参考数据：，，） A. 181.0 B. 230.4 C. 102.4 D. 153.6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：___________． 10. 从、0、1、2四个数中任取一个数作为k的值，则使得关于x一元二次方程有实数根的概率为________． 11. 在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图，这是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令为“淡泊”，最后输出口令为“夫君”．按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为________． 6 静 以 明 德 以 夫 5 也 致 志 非 修 君 4 才 远 非 淡 身 子 3 须 夫 宁 泊 俭 之 2 学 学 静 无 以 行 1 也 须 无 以 养 静 1 2 3 4 5 6 12. 如图，与反比例函数分别交于点，与轴交于点．已知的半径为，若，则的值为________． 13. 如图，在中，，，已知平行四边形的顶点均在的边上，且在以D为顶点的中，交于点P，交于点Q，当时，________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再代入求值：，其中． 16. 拥有一位“体育老师”是种什么体验？近日深圳最大的运动馆“未来运动空间”在某中学启用．场馆里共设计了8个“体育”的锻炼区域，而在“球类区域”则引进了足球、网球、高尔夫球、乒乓球四种高科技器材．为了解学生对这四类项目的喜爱程度，该校调查小组随机抽取部分学生进行问卷调查（被调查学生必须从四个选项中选择一项）．下面是该调查小组的调查报告，请根据报告内容完成相应的问题． 调查主题 我最喜欢的“体育老师” 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 使用过这四类器材的学生 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 以下为调查结果统计图： 说明：①图中字母的含义：A：足球；B：乒乓球；C：网球；D：高尔夫球． ②下面给出了部分信息：D组的8名学生的个人信息如表格所示： 初一 初二 初三 男 0 2 1 女 3 1 1 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生；学生最喜欢的项目是________（填项目代码）；在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）请估计全校2000名学生中喜欢乒乓球的人数； （4）学校决定从D组中3位来自初二年级的同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一名男生和一名女生的概率． 17. 笋岗文具玩具礼品城是深圳最大、最集中的文具玩具交易中心，号称“深圳的义乌”．某学校为给获奖的学生奖励的奖品更加丰富多样性，特派负责采购的李老师去考察．已知每个运动礼盒比笔记本礼盒贵元，用元购买运动礼盒的个数是用元购买笔记本礼盒的个数的一半． （1）每个运动礼盒、笔记本礼盒的价格分别是多少？ （2）该学校计划购买运动礼盒和笔记本礼盒共个，两种礼盒都需要购买，且购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的倍．请问李老师应该如何购买才能花费最少？并求出最少费用． 18. 如图，是的外接圆，点O是圆心，连接． （1）尺规作图：请用无刻度直尺与圆规作出过点A作的切线l，且切线l交延长线于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的值． 19. 【定义】 我们将二次函数（a、b、c均不为0且）与二次函数称之为“互反抛物线”．例如：二次函数与二次函数就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数，其“互反抛物线”记作．若与交于y轴上的交点M和N且，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知是二次函数上的一点，求、的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数（其中，b、c均不为0且）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，和的函数图象交于点，如图所示，当时，请直接写出c的值． 20. 综合与探究 【教材重现】小明在复习八年级下册课本例题的时候，意外发现了另外一个很重要的结论．如图1，在中，是的角平分线，则有成立． （1）请按要求完成他的探究过程： 证明：在图中，作，， ∵平分，， ∴________________， ，， ________，________ ． （2）有了这个结论，小明发现很多题就都可以迎刃而解了！如图，在中，点D是上一个动点，将沿所在直线进行折叠，使得点A落在边上的点E处．若点E恰好是的四等分点（靠近C点），则此时的值为多少？ 【问题解决】 （3）如图，在矩形中，为对角线，点E是边上一点，连接，将沿所在直线进行折叠，使得点A恰好落在上的四等分点F处（靠近点C），直线交延长线于G，交于H，若，则的面积为多少？ 【拓展延伸】 （4）如图，在平行四边形中，与之间的距离为7，即，为对角线，点E是边上一点，连接，将沿所在直线进行折叠，使得点A也恰好落在边上的四等分点F处（靠近点C），直线交延长线于G，交于H，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第三次调研测试试题 数学卷 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔，按作答题目的序号，写在答题卡相应位置． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各大商标Logo中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合、中心对称图形绕中心点旋转后与原图重合的特征，逐一判断选项得出答案． 【详解】解：选项：既无对称轴，旋转也无法重合，既不是轴对称也不是中心对称； 选项：横竖两条直线均可作为对称轴（轴对称），绕中心旋转和原图重合（中心对称），满足条件； 选项：无对称轴，仅为中心对称图形； 选项：无对称轴，仅为中心对称图形． 2. 如图所示是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“生”字一面相对的字是（ ） A. 率 B. 效 C. 就 D. 命 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字形”，据此即可解答． 【详解】解：由图可知，“生”字一面相对面上的字是“率”． 3. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看到的图形是一个长方形，靠近中间有两条横着的虚线，即看到的图形如下： ， 故选：C． 4. 老师随机抽查了本班20名学生本学期阅读课外书册的情况，绘制成如下的条形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则此次调查册数的中位数为（ ） A. 5.45 B. 6 C. 5 D. 5.5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出读5册的人数，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：被调查的学生读课外书册数为5册的人数为（人）， 把学生读课外书册数的数量按照从低到高排列，中位数为第10名和第11名读的册数的中位数，  第10个数据为5，第11个数据为6， ∴被调查的学生读课外书册数的中位数为（册）． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，涉及合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式，逐一根据对应法则判断即可． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B：∵，∴B错误； 选项C：∵，∴C正确； 选项D：∵，∴D错误． 6. 如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点，先求出，再求出的度数，然后结合计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点为入射点，为法线， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形观察，大长方形的高度由两部分组成：上面是两块横放砖的宽，下面是一块竖放砖的长；同时，观察图形内部结构，一块竖放砖的长等于三块横放砖的宽之和，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米 依题意得， 解得， ∴ 每个小长方形的面积为． 8. “明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（ ）米．（参考数据：，，） A. 181.0 B. 230.4 C. 102.4 D. 153.6 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点H，由题意得，在中，根据三角函数求出，，证得，得到，在中，根据三角函数求出，即可得到． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由题意得（米）， 在中，， ∴（米），（米）， ∵， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴（米）． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因数，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 从、0、1、2四个数中任取一个数作为k的值，则使得关于x一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出使方程有实数根的的取值范围，找出符合条件的的个数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为 方程有实数根，则，即 整理得. 从四个数中任取一个数作为，共有种等可能的结果，其中满足的只有，共种符合条件的结果， 因此所求概率为． 11. 在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图，这是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令为“淡泊”，最后输出口令为“夫君”．按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为________． 6 静 以 明 德 以 夫 5 也 致 志 非 修 君 4 才 远 非 淡 身 子 3 须 夫 宁 泊 俭 之 2 学 学 静 无 以 行 1 也 须 无 以 养 静 1 2 3 4 5 6 【答案】明德 【解析】 【分析】先根据已知条件找出坐标变换规律，再根据规律计算所求输入对应的输出字即可，本题可根据已知对应关系得到平移规律为每个输入坐标，输出对应字的坐标为，再查表得结果． 【详解】解：根据表格，列号为横坐标，行号为纵坐标，即坐标对应第列第行的字， 已知输入对应字淡，输入对应字泊，即中转口令为淡泊，输出口令为夫君， 查表格得，夫对应坐标，君对应坐标， 可得坐标变换规律为：输出坐标输入坐标横坐标加，纵坐标加，即， 现输入数字密码为，， 则第一个输出坐标为，查表得对应字为明， 第二个输出坐标为，查表得对应字为德， 则最后输出口令为明德． 12. 如图，与反比例函数分别交于点，与轴交于点．已知的半径为，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明是等边三角形得，，在中，解直角三角形得的长，结合图象得点的坐标，代入反比例函数解析式解的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 的半径为， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， 点在反比例函数上， ． 13. 如图，在中，，，已知平行四边形的顶点均在的边上，且在以D为顶点的中，交于点P，交于点Q，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】先由等腰算出；过作、，证，得；结合，得、，推出，再由，解得． 【详解】解：在中，，， ∴， 过点作于点，如图， 则， 在中，，， ∴ ， 过点作于，于， 当点H在线段上时，如图，， 在四边形中，， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 解得； 当点H在的延长线上时，设于交于点I，如图， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 综上所述，． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 15. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 拥有一位“体育老师”是种什么体验？近日深圳最大的运动馆“未来运动空间”在某中学启用．场馆里共设计了8个“体育”的锻炼区域，而在“球类区域”则引进了足球、网球、高尔夫球、乒乓球四种高科技器材．为了解学生对这四类项目的喜爱程度，该校调查小组随机抽取部分学生进行问卷调查（被调查学生必须从四个选项中选择一项）．下面是该调查小组的调查报告，请根据报告内容完成相应的问题． 调查主题 我最喜欢的“体育老师” 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 使用过这四类器材的学生 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 以下为调查结果统计图： 说明：①图中字母的含义：A：足球；B：乒乓球；C：网球；D：高尔夫球． ②下面给出了部分信息：D组的8名学生的个人信息如表格所示： 初一 初二 初三 男 0 2 1 女 3 1 1 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生；学生最喜欢的项目是________（填项目代码）；在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）请估计全校2000名学生中喜欢乒乓球的人数； （4）学校决定从D组中3位来自初二年级的同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）80；B；； （2） （3）全校喜欢乒乓球有人 （4）所选的两位同学恰为一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】（1）先根据A组的信息求出样本人数，再求出B组人数，即可确定学生最喜欢的项目，最后再利用C组的信息求出相应的圆心角即可； （2）根据（1）中求出的B组人数补全条形统计图即可； （3）根据样本估计总体即可； （4）设男生2名（记），女生1名（记），再根据列表法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，组的人数为24人，占抽取总人数， ∴本次共抽取的学生人数为（人）， ∴组的人数为，组人数最多， ∴最喜欢项目为， ∴组圆心角度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，抽取的人数中喜欢乒乓球的占比为， ∵全校共2000人， ∴（人）， 答：全校喜欢乒乓球有人； 【小问4详解】 解：由表格可得，D组初二学生：男生2名（记），女生1名（记）， 列表如下： 由表格可得，所有可能的结果共种，符合1男1女的有种， ∴， ∴所选的两位同学恰为一名男生和一名女生的概率为． 17. 笋岗文具玩具礼品城是深圳最大、最集中的文具玩具交易中心，号称“深圳的义乌”．某学校为给获奖的学生奖励的奖品更加丰富多样性，特派负责采购的李老师去考察．已知每个运动礼盒比笔记本礼盒贵元，用元购买运动礼盒的个数是用元购买笔记本礼盒的个数的一半． （1）每个运动礼盒、笔记本礼盒的价格分别是多少？ （2）该学校计划购买运动礼盒和笔记本礼盒共个，两种礼盒都需要购买，且购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的倍．请问李老师应该如何购买才能花费最少？并求出最少费用． 【答案】（1） 每个运动礼盒的价格是元，每个笔记本礼盒的价格是元 （2） 购买个运动礼盒，个笔记本礼盒时花费最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）每个运动礼盒的价格是元，则每个笔记本礼盒的价格是元，列分式方程求解即可； （2）设购买了个笔记本礼盒，则购买了个运动礼盒，根据购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的倍列不等式求解． 【小问1详解】 解：设每个运动礼盒的价格是元，则每个笔记本礼盒的价格是元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是所列分式方程的解， ， 答：每个运动礼盒的价格是元，每个笔记本礼盒的价格是元； 【小问2详解】 解：设购买了个笔记本礼盒，则购买了个运动礼盒， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， 最多购买个笔记本礼盒， 笔记本礼盒的单价便宜， 笔记本礼盒购买的数量越多，花费越少， 应购买个笔记本礼盒，个运动礼盒， 所花费用为元， 答：李老师购买个运动礼盒，个笔记本礼盒时花费最少，最少费用为元． 18. 如图，是的外接圆，点O是圆心，连接． （1）尺规作图：请用无刻度直尺与圆规作出过点A作的切线l，且切线l交延长线于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）的值为45 【解析】 【分析】（1）延长射线，以点A为圆心，任意半径作弧交射线于点E、F，以点E、F为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点J、I，连接直线交射线于点D； （2）连接，由是切线得，推导，结合公共角，证，得到切割线关系式；，代入得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 切于点， ，即， ， ∴， 由图可得，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 【定义】 我们将二次函数（a、b、c均不为0且）与二次函数称之为“互反抛物线”．例如：二次函数与二次函数就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数，其“互反抛物线”记作．若与交于y轴上的交点M和N且，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知是二次函数上的一点，求、的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数（其中，b、c均不为0且）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，和的函数图象交于点，如图所示，当时，请直接写出c的值． 【答案】（1）a的值为或； （2）、的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值为2； （3）c的值为3 【解析】 【分析】（1）根据“互反抛物线”定义，的解析式为．令，得、与轴交点纵坐标为和，由列方程，即，解得或，均满足，故或； （2）将代入得，分两种情况计算：时，、与轴的交点横坐标为和，最大距离为；时，交点的横坐标为和，最大距离为，故轴交点距离的最大值为； （3）由“互反抛物线”定义，为，代入得．求出顶点、顶点，由用勾股定理列方程，解得． 【小问1详解】 解：对于二次函数:，令， 得，即与轴交点的纵坐标为， 对于二次函数:，令， 得，即与轴交点的纵坐标为， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴的值为或； 【小问2详解】 解：∵是二次函数:上的一点， ∴将代入中， 得 解得， 对于二次函数:，令， 则 解得，， 当时，:， 令，则 解得，， 当时，:， 将，代入， 得， 令，则 解得，， 当时，交点横坐标为，，，距离最大值为． 当时，交点横坐标为，，，距离最大值为， ∴、的函数图象与轴的所有交点的距离的最大值为； 【小问3详解】 解：∵与为互反抛物线， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，的顶点为， ∴， ∵， ∴， ∵的顶点为， ∴， ∵， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴； ；， ∴ 解得或， 当时，（舍去）； 当时，． 【点睛】本题核心为①利用“互反抛物线”的定义快速写出解析式；②求函数与坐标轴交点时，令或，结合绝对值、因式分解简化计算；③直角问题优先用勾股定理，顶点坐标用公式计算．常见错误：忽略“互反抛物线”的条件、顶点坐标计算错误、勾股定理列方程化简失误，避坑时需牢记定义，分步计算并验证解的合理性． 20. 综合与探究 【教材重现】小明在复习八年级下册课本例题的时候，意外发现了另外一个很重要的结论．如图1，在中，是的角平分线，则有成立． （1）请按要求完成他的探究过程： 证明：在图中，作，， ∵平分，， ∴________________， ，， ________，________ ． （2）有了这个结论，小明发现很多题就都可以迎刃而解了！如图，在中，点D是上一个动点，将沿所在直线进行折叠，使得点A落在边上的点E处．若点E恰好是的四等分点（靠近C点），则此时的值为多少？ 【问题解决】 （3）如图，在矩形中，为对角线，点E是边上一点，连接，将沿所在直线进行折叠，使得点A恰好落在上的四等分点F处（靠近点C），直线交延长线于G，交于H，若，则的面积为多少？ 【拓展延伸】 （4）如图，在平行四边形中，与之间的距离为7，即，为对角线，点E是边上一点，连接，将沿所在直线进行折叠，使得点A也恰好落在边上的四等分点F处（靠近点C），直线交延长线于G，交于H，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）；；；； （2）的值为； （3）的面积为； （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形面积公式即可得到结论； （2）由折叠性质得，，即是的角平分线；根据角平分线定理；是四等分点（靠近），故，代入得； （3）由得，，折叠得，是角平分线，故；由得，，证得，；用面积差，算出面积为； （4）由折叠可知平分，依据角平分线定理得．要使为等腰三角形，分、、三种情况逐一讨论，舍去无法构成图形的情况，再结合平行四边形边长、勾股定理列算式求解，最终得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠可得，，， ∴是的角平分线， ∴， ∵是的四等分点（靠近）， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的四等分点（靠近），， ∴，， 由折叠可得，，， ∴在矩形中，，，是的角平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设， ∵是的四等分点（靠近）， ∴，， 由折叠可得，， ∴是的角平分线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当为等腰三角形时，则当时， ∵， ∴ 解得， 又∵， ∴不能构成三角形，故舍去； 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 过点作于，如图， 则， 在中， ， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴； 当时，则设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴；， ∴， 过点作于，如图， ∴， ∴ 解得， 在和中，， ∴ 将，，代入， 得 ， ， 解得， 将代入中， 得 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题核心是角平分线定理（面积法证明折叠得角平分线），结合相似三角形、等腰三角形分类讨论解题．常见错误：折叠后漏判角平分线、等腰三角形漏分类、面积比例计算错误；避坑需牢记折叠对应角相等，等腰三角形分“腰相等”的三种情况逐一验证，用面积法简化比例计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $