精品解析：安徽省合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高二下学期第三次段考数学试题

2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第三次段考 试卷 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 2. 设随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 4. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 5. 已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 6. 在某运动会上，教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团体比赛，不同的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 10种 7. 随机变量，若，，则（ ） A. 0.25 B. 0.5 C. 0.75 D. 0.85 8. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. (多选题)若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是3，4，5 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X等于4的概率为 11. 为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ） 性别 物理学科 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 20 80 100 合计 80 120 200 参考公式：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B. 女生中喜爱物理学科的频率为 C. 依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 13. 在的展开式中，含的项的系数是__________． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是______． 四．解答题 15. 已知是公差为3的等差数列，数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含的项． 17. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化． 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 （1）观察表格数据可知，天数x与作物高度y之间具有线性相关关系，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程(其中用分数表示)； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差 参考公式：.参考数据：. 18. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上存在极值，求的取值范围. 19. 甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格． （1）若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率； （2）若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第三次段考 试卷 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 若，则，得，则，故， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 2. 设随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求出的值，再利用方差的性质可求得的值. 【详解】因为随机变量，则， 又因为，则. 故选：D. 3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解. 【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义： 故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 4. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为，， 令，得展开式中含的项为，故的系数为32. 5. 已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断得在上单调递增，从而列式得解. 【详解】因为，为正实数， 所以恒成立， 所以在上单调递增， 所以函数在上的最大值为，即， 所以在上的最小值为. 故选：A. 6. 在某运动会上，教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团体比赛，不同的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 10种 【答案】D 【解析】 【详解】参加比赛是组合问题，与顺序无关， 由组合的定义可知有种不同选法． 7. 随机变量，若，，则（ ） A. 0.25 B. 0.5 C. 0.75 D. 0.85 【答案】C 【解析】 【分析】解：根据随机变量，得到，再由求得m即可. 【详解】解：因为随机变量， 所以， ， 解得， 所以， 故选：C 8. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求出切点坐标，再根据切点在直线上求出的值. 【详解】设切点为，由得， 因为直线与曲线相切， 所以，解得，，所以， 又在直线上，所以，解得. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. (多选题)若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】AB 【解析】 【分析】 先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为列方程求解即可. 【详解】二项式展开式的通项为， ， 令，得， 常数项为， ，得，故答案为. 故选：AB 【点睛】关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 10. 一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是3，4，5 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X等于4的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得. 【详解】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N， 任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球． M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项A正确； 又， ， ， 所以X最有可能的取值是4， 所以选项B，D错误，选项C正确． 故选：AC． 11. 为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ） 性别 物理学科 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 20 80 100 合计 80 120 200 参考公式：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B. 女生中喜爱物理学科的频率为 C. 依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 【答案】AC 【解析】 【分析】求得喜爱物理学科的学生中，男生的频率判断选项A；求得女生中喜爱物理学科的频率判断选项B；求得的值并依据独立性检验规则判断选项CD. 【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名）， 故喜爱物理学科的学生中男生的频率为，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理的女有20名， 故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误； 对于C，D，， 故依据小概率值的独立性检验， 可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关， 即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下， 认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误． 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 【答案】 【解析】 【详解】从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，总共有种不同的填法． 13. 在的展开式中，含的项的系数是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果. 【详解】方法一：由题知， 因为的二项展开式的通项是， 所以的二项展开式中项的系数是， 所以的展开式中，含的项的系数是. 方法二：展开式中含项的系数分别为， 系数的和为. 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可． 【详解】记表示“女生”，表示“男生”，B表示“追星”， 设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为， 所以，，，， 所以这名学生追星的概率， 故答案为：． 四．解答题 15. 已知是公差为3的等差数列，数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求得；由等差数列通项公式可求得结果；（2）将代入，可证得数列为等比数列；由等比数列前项和公式求得结果. 【详解】（1）由已知，，得： 数列是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）知：，即： 数列是以为首项，为公比的等比数列 记的前项和为，则 【点睛】本题考查等差数列通项、等比数列前项和的求解问题，关键是能够准确求解出等差和等比数列的基本量，属于基础题. 16. 在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含的项． 【答案】（1）第3项的系数为240.二项式系数为15（2）含x2的项为第2项，为－192x2. 【解析】 【详解】试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第项的二项式系数及系数； （2）由二项展开式的痛项，可得当时，即可得到含的系数. 试题解析：(1)第3项的二项式系数为C＝15， 又T3＝C (2)42＝24·Cx， 所以第3项的系数为24C＝240. (2)Tk＋1＝C (2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k， 令3－k＝2，得k＝1. 所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. 17. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化． 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 （1）观察表格数据可知，天数x与作物高度y之间具有线性相关关系，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程(其中用分数表示)； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差 参考公式：.参考数据：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解. （2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可. 【小问1详解】 依题意得， ， 故， ，故所求回归直线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，， 故所求残差为. 18. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上存在极值，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求解函数的单调区间； （2）把在上存在极值转化为在上有异号零点，令，求导得在区间上单调递增，利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题可知， ， 令，得.令，得.令，得. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题可知，则. 令，则. 所以在上恒成立，所以在区间上单调递增. 因为，在区间上有极值. 所以，解得. 19. 甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格． （1）若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率； （2）若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列． 【答案】（1）分布列见解析，； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）求出的所有可能值，利用组合及古典概率公式求出各个值对应的概率，列出分布列，求出甲合格的概率作答. （2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列作答. 【小问1详解】 依题意，的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列： 0 1 2 3 所以甲合格的概率. 【小问2详解】 依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，则的可能取值为-5，5，15， ，，， 的分布列： -5 5 15 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $