精品解析：安徽省明光中学2025-2026学年高二下学期六月阶段性考试数学试题

2026年6月1-2日高二六月阶段性 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题 总分40分） 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，，，， ，， . 2. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（ ） A. 504 B. 480 C. 360 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】考虑到“礼”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法. 【详解】“礼”与“御”的相对位置有2种（“礼”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 所求排法数为种，即课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有360种. 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，令可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 所以， 解得. 4. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为，，第n（）行的第4个数字为，则等于（ ） A. 20 B. 35 C. 56 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数直接求解或根据组合数的性质求解. 【详解】方法一：由题图知 . 方法二:由题图知 . 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 220 B. C. 100 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此系数由两部分组成，一部分是与中的的积的系数；另一部分是的与中的的积的系数，利用展开式求出中 、的系数，即可得答案. 【详解】要求的系数，即求的系数， 此系数由两部分组成，一部分是与中的项的积的系数； 另一部分是的与中的项的积的系数， 又因为的展开式为， 令，解得， 所以的系数为； 令，解得， 所以的系数为； 所以原式展开式中，即的系数为 6. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得数列的首项为，设其公差为，由，，成等比数列和数列（非常数列），求得，从而得，再将代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则， 所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，， 当时，， 所以，不是常数数列，满足题意， 所以， 所以， 所以. 7. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ） A. B. C. D. 的图象关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的性质结合函数对称性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以均值，标准差， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 则，， 因为，而区间与不关于直线对称， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 所以，又， 所以，即， 所以，即的图象关于对称，故D正确. 8. 已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分离参数得，针对能成立问题，对右侧构造函数，根据导数求其最小值，进而得解. 【详解】由得， 移项得， 因存在使不等式成立，则可得. 令，则， 令，则，所以在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以在上有且仅有一个零点，设为，则. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得. 二、多选题（本题共3小题 总分18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 B. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 D. 已知y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，样本相关系数的取值范围为，线性相关程度越强，越接近于，故A正确. 选项B，越大，残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，故B正确. 选项C ，因，因此可判断零假设不成立，即不独立，故C错误. 选项D， 当时， ，残差，故D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有2个极值点 C. 函数有5个零点 D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数分析出函数的单调性，进而得到函数的最值以及极值点，求出选项ABD.再利用换元法，结合的图象求解选项C. 【详解】由，可得，易知恒成立； 当​时，，单调递增；当时，，单调递减. 当时，，单调递增，则极大值，极小值. 当时，时，函数图象如下图所示： 选项A.的极小值，且时均大于，因此存在最小值，A错误. 选项B.有两个不同的变号零点​和，对应两个极值点，B正确. 选项C.令，，解得​或. 结合图象可知，当时，由可知该方程在和各有1个解，共2个解； 当时，由可知该方程在，，各有一个解，共3个解，共5个解. 选项D.的单调减区间是，若在上是减函数，则，D错误. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据概率的性质即可判断；B：求条件概率即可；CD：分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子中时，根据全概率计算公式求出，根据条件概率计算公式求出，，从而可以判断． 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题 总分15分） 12. 已知，的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】 13. 设，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得. 【详解】令，则， 令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为： 14. 已知集合，，若从集合A中取出2个元素记为，，从集合B中取出2个元素记为，，则满足的不同取法有_____________种. 【答案】182 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，， 由，且，则， 当时，不同取法种数为；当时，不同取法种数为， 所以所求不同取法种数为. 四、解答题（本题共5小题 总分77分） 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． （1）求样本（，2，…，5）的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用题目给的数据和公式先计算出样本平均数，再算出相关系数即可, (2)利用超几何分布求解分布列即可. 【小问1详解】 根据统计表格中的数据，可得，，以及，，． 可得样本相关系数 ． 【小问2详解】 根据题意，可得随机变量X的取值为1，2，3， 则，，． 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以期望为． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列． （2）求数列的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合构造法以及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）写出数列的通项公式，结合单调性分析求出即可. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 则，则， 则，又，所以， 故数列是公比为，首项为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 有， 当时，，即， 当时，因为，所以， 则， 又，所以， 所以从第2项起单调递减，即， 所以的最大项为， 即数列的最大值为． 17. 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大． （1）求奇数项的二项式系数和； （2），且，若能被20整除，求a的值； （3）求的值． 【答案】（1）2048 （2） （3）24 【解析】 【分析】(1)先根据二项式系数的对称性，只有第项二项式系数最大，确定的取值；再利用二项式系数和的性质，求奇数项的二项式系数和. (2)代入得到的表达式，将其变形为的倍数加余数的形式，结合整除条件和的范围和值，会用到二项式定理展开构造整除项. (3)对的展开式两边求导，再代入合适的值，即可得到所求式子的值. 【小问1详解】 因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得． 所以奇数项的二项式系数和为． 【小问2详解】 由（1）知，则． 由二项式定理可得， 除了第一项外，其余各项都能被20整除． 若能被20整除，则能被20整除．又因为，且，所以，解得． 【小问3详解】 ， 求导得， 令，则， ． 18. 某攀岩集训队有位学员，他们的学号分别为，教练将他们带到2条平行赛道（道和道），首先做了一个小游戏，有两种游戏方案. 方案一： a.1号学员首先攀越道. b.若号学员成功攀越道，则该学员继续攀越道；若号学员攀越道失败，则由号学员接着攀越道. c.若号学员攀越道成功，则游戏结束；若号学员攀越道失败，则由号学员接着攀越道. d.若攀越轮到号学员，则当该学员攀越不成功时，游戏也结束. 方案二： 将上述方案中的（c）改为： 若号学员攀越道成功，则游戏结束；若号学员攀越道失败，则由号学员攀越，且从道攀越. 假设每位学员攀越道成功的概率为，攀越道成功的概率为，且各位学员攀越是否成功相互独立. （1）若，且按方案一进行游戏，当游戏结束时，求攀越学员少于3人的概率； （2）当时，要使3号学员攀越后游戏结束的概率较大，应选择哪种游戏方案？ （3）如果按方案二进行游戏，记游戏结束时参加了游戏的学员的总人数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2）应选择方案一进行游戏 （3） 【解析】 【分析】（1）借助相互独立事件的概率公式计算即可得； （2）分别求出方案一与方案二中3号学员攀越后游戏结束的概率并比较即可得； （3）表示出的可能取值及其对应概率后，利用期望公式结合错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 设攀越学员人数为，则， ， 则； 【小问2详解】 若选择方案一：则3号学员攀越后游戏结束的概率： ； 若选择方案二：由于每位学员攀越、道都成功的概率为， 则3号学员攀越后游戏结束的概率：， 因为，所以应选择方案一进行游戏； 【小问3详解】 按方案二进行游戏，的可能取值为1、2、3、、， 当时，， 当时，， 则， 则， 故 ， 故. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若为函数的三个零点，且满足， ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）求导求出切线斜率，代入点坐标可求切线方程. （2）①对函数求导，分析判断满足零点条件所需要的函数单调性区间，建立关于的限制条件，解出取值范围. ②根据零点大小关系求出，接着观察函数的结构特征，建立函数关系式，求出，再用均值不等式求解，可得最小值. 【小问1详解】 ，所以 ，可得点 ，所以 ， 所以切线方程为. 【小问2详解】 ①因为， 若，则恒成立，故在上递增，不可能有三个零点，不合题意. 若，则有两个不相等的实数根，记为，且， 故在上递增，在上递减， 因为，所以， 又因为当时，， 令，则， 所以在上递增，且， 同理，所以在和上各有一个零点，又显然是的一个零点. 综上，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为. ②，因为，所以，， 所以， 由， 可得 ， 又因为 ， 根据区间单调性，可得 ， 所以， 又因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月1-2日高二六月阶段性 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题 总分40分） 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 2. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（ ） A. 504 B. 480 C. 360 D. 240 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为，，第n（）行的第4个数字为，则等于（ ） A. 20 B. 35 C. 56 D. 70 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 220 B. C. 100 D. 6. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 7. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ） A. B. C. D. 的图象关于对称 8. 已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题 总分18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 B. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 D. 已知y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有2个极值点 C. 函数有5个零点 D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 三、填空题（本题共3小题 总分15分） 12. 已知，的值是______． 13. 设，若，则________． 14. 已知集合，，若从集合A中取出2个元素记为，，从集合B中取出2个元素记为，，则满足的不同取法有_____________种. 四、解答题（本题共5小题 总分77分） 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． （1）求样本（，2，…，5）的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列． （2）求数列的最大值． 17. 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大． （1）求奇数项的二项式系数和； （2），且，若能被20整除，求a的值； （3）求的值． 18. 某攀岩集训队有位学员，他们的学号分别为，教练将他们带到2条平行赛道（道和道），首先做了一个小游戏，有两种游戏方案. 方案一： a.1号学员首先攀越道. b.若号学员成功攀越道，则该学员继续攀越道；若号学员攀越道失败，则由号学员接着攀越道. c.若号学员攀越道成功，则游戏结束；若号学员攀越道失败，则由号学员接着攀越道. d.若攀越轮到号学员，则当该学员攀越不成功时，游戏也结束. 方案二： 将上述方案中的（c）改为： 若号学员攀越道成功，则游戏结束；若号学员攀越道失败，则由号学员攀越，且从道攀越. 假设每位学员攀越道成功的概率为，攀越道成功的概率为，且各位学员攀越是否成功相互独立. （1）若，且按方案一进行游戏，当游戏结束时，求攀越学员少于3人的概率； （2）当时，要使3号学员攀越后游戏结束的概率较大，应选择哪种游戏方案？ （3）如果按方案二进行游戏，记游戏结束时参加了游戏的学员的总人数为，求的数学期望. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若为函数的三个零点，且满足， ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $