精品解析：河北黄骅中学2025-2026学年高一第二学期6月测试数学试卷

6月高一年级测试 数学 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. 2. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数求得，结合百分位数的定义得到结果． 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 3. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 4. 如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 6. 如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 7. 如图，已知平面平面，点在平面和平面之间，且，，，若，则.（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以与相似. 因为，所以，所以， 所以. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质进行求解． 【详解】如图，连接，与交于点，连接，交于点， 连接，因为平面，平面， 平面平面， 所以，由于是的中点，所以. 过点作，交于点，则， 因为，所以， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有9个数据：2，2，2，2，3，3，4，4，5，则这组数据的（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据众数表示数据中出现次数最多的数据判断A，根据平均数的计算方法判断B，利用最大值减最小值计算极差判断C，根据中位数为数据从小到大或者从大到小排列之后中间的数进行判断D选项． 【详解】2出现了4次，3和4出现了2次，5出现了1次，所以众数是2，故A正确； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 9个数据，中位数为第5个数据即为3，故D错误． 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形同角三角函数可判断A，利用余弦定理及三角形面积公式可判断B，利用向量的运算性质及数量积的运算规律可判断C、D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 由余弦定理得，解得， 故，B错误； ，C正确； ，D正确. 11. 如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面的交线记为，则直线 D. 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断AB；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断D. 【详解】对于A，由题知相交，平面， 平面，所以与平面相交，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别是，的中点，所以，， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，因为平面， 平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，故C正确； 对于D，因为分别是的中点， 所以，，所以， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得. 13. 某中学高一年级有1100人，高二年级有1050人，高三年级有850人.现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取150人，则抽取的高一年级学生的人数为______. 【答案】55 【解析】 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 所以抽取的高一年级学生的人数为. 14. 如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，易证平面，可得是与平面所成的角，再分别求出，的长，根据求出余弦值即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由是等边三角形，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角，又是等边三角形，， 为的中点，所以，， 因为平面，，所以，， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）求； （2）求； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据复数模的计算公式求其模； （2）根据复数乘法的运算法则计算； （3）先求出，再根据共轭复数的定义求出. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 如图，正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）如图，连接，，则既是的中点，也是的中点 . 因为是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理进行证明； （2）由进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体的棱长为2，到平面的距离为， ， 所以 17. 2026年某市举办“青年科技创新大赛”，某高校承办了参赛选手的初选面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并将他们的成绩分成五组：，，，80），，，得到如下频率分布直方图.已知前两组的频率之和为0.25. （1）分别求的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现用分层抽样的方法从样本面试成绩在，，90）中共抽取7人担任本次宣传者.已知本次宣传者中成绩在的平均数和方差分别为64和30，成绩在的平均数和方差分别为85和40，据此估计这7人面试成绩的方差. 【答案】（1） （2）78 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征即可求解； （2）利用百分位数的求解方式求解； （3）利用分层抽样的方差公式进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得； 【小问2详解】 因为，， 所以面试成绩前的候选者的最低分位于区间， 设最低分为，所以， 可得； 【小问3详解】 设成绩在和的平均数分别为，，方差分别为，， 和的频率之比为， 用分层抽样的方法选取7人，则成绩在的人数为4，在的人数为3， 则这7人面试成绩的平均数， 方差 ． 18. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）由（1）知平面，可得，，由二面角的定义可知是二面角的平面角，最后在中，求出的值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点，连接， 由（1）知平面，因为平面，平面， 所以，，因此是二面角的平面角， 因为，四边形为菱形，， 所以为等边三角形，则，所以， 所以，在中，， 即二面角的正切值为2. 19. 如图，在四边形中，是正三角形，，分别是，的中点，，. （1）当时，求四边形的面积； （2）记. ①试用表示； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由，结合三角形面积公式求解； （2）①利用余弦定理得到，结合即可求解； ②由正弦定理得，进而得到，再利用余弦定理得到，结合三角恒等变形化简求最值即可． 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ，所以， 因为是正三角形，所以， 易知， 因此. 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理得， 因为是的中点，为正三角形，所以是边上的高，所以， 因此. ②因为点，分别是，的中点，故，且， 在中，由正弦定理得，解得， ， 在中，由余弦定理得 . 因为，，故， 所以当，即时，的最大值为， 代入得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6月高一年级测试 数学 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 以上都有可能 2. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 3. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 18 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 7. 如图，已知平面平面，点在平面和平面之间，且，，，若，则.（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有9个数据：2，2，2，2，3，3，4，4，5，则这组数据的（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面的交线记为，则直线 D. 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______. 13. 某中学高一年级有1100人，高二年级有1050人，高三年级有850人.现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取150人，则抽取的高一年级学生的人数为______. 14. 如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线与平面所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）求； （2）求； （3）若，求. 16. 如图，正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 17. 2026年某市举办“青年科技创新大赛”，某高校承办了参赛选手的初选面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并将他们的成绩分成五组：，，，80），，，得到如下频率分布直方图.已知前两组的频率之和为0.25. （1）分别求的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现用分层抽样的方法从样本面试成绩在，，90）中共抽取7人担任本次宣传者.已知本次宣传者中成绩在的平均数和方差分别为64和30，成绩在的平均数和方差分别为85和40，据此估计这7人面试成绩的方差. 18. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 19. 如图，在四边形中，是正三角形，，分别是，的中点，，. （1）当时，求四边形的面积； （2）记. ①试用表示； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $