河北衡水市武强县衡水街关中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一6月数学参考答案 一、单选题 1． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】将复数整理为标准形式即可求解. 【详解】由题意得,故复数z在复平面内对应的点为. 2． 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】对4个图形依次还原成立体图形，在看是否存在面面垂直. 【详解】①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直； ②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意； ③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直； ④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意. 故选：C 3． 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、充分条件 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4． 【答案】A 【知识点】求线面角 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 5． 【答案】C 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 6． 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】由已知直观图，画出原来平面图形，计算周长即可. 【详解】解：由已知直观图，根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图， 由题意可知，，则， ，，， 所以周长为. 7． 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】先判断第百分位数所在组，然后根据频率直方图面积之和等于确定取值. 【详解】因为，， 所以第60百分位数位于，设为， 则， 解得，即估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为. 故选：D． 8． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 二、多选题 9． 【答案】AD 【知识点】简单随机抽样的概率、分层抽样的特征及适用条件、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、三种抽样方法的辨析 【分析】根据抽样的定义及分类判断各个选项即可. 【详解】根据两种抽样的特点可得，无论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性相等， 都为，故A正确，B错误， 因为总体中有差异比较明显的三个层（一级品，二级品，三级品）， 所以方法二抽到的样本更有代表性，故C错误，D正确． 故选：AD． 10． 【答案】AC 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】由复数模的计算公式，可判定A正确；化简复数，根据复数的分类，列出方程，求得的值，可判定B错误；根据实系数一元二次方程性质，结合韦达定理，求得的值，可判定C正确；根据复数模的几何意义，以及圆的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由复数，可得，所以A正确； 对于B，由复数， 因为复数为纯虚数，可得，解得，所以B错误． 对于C，由是关于x的方程的一个根，可得是方程的另一个复数根， 由韦达定理得，可得，所以，所以C正确． 对于D，由复数满足， 可得在复平面内，复数的对应点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点Z到点的距离，且点在圆内， 且, 所以的最小值为，所以D错误． 11． 【答案】ABD 【知识点】判断正方体的截面形状、异面直线的判定、正棱柱及其有关计算 【分析】根据异面直线的定义和判定方法，可判定A正确；根据正方体截面的性质，可判定B正确.得到线段EG为点I的轨迹，求得G，H分别为和的三等分点，求得点I的轨迹长度，可判定C错误，求得五边形的边长，得到五边形的周长，可判定D正确. 【详解】对于A，在正方体中，与既不平行也不相交， 且平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线，所以A正确． 对于B，延长EF，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q， 连接交于点G，连接交于点H， 再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，所以B正确. 对于C，如图所示，根据题意，可得线段EG为点I的轨迹， 因为E，F分别是CD，BC的中点，所以，所以， 所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点，则， 即点I的轨迹长度为，所以C错误. 对于D，由，，且， 则五边形的周长为，所以D正确. 三、填空题 12． 【答案】007 【知识点】随机数表法 【分析】直接由随机数表依次读取数据即可. 【详解】从表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去）， 736（舍去），253（舍去），007， 故得到的第4个样本编号是007. 故答案为：007 13． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 14． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 四、解答题 15.（1）；（2）. 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案； （2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 在正四棱柱中 平面，即为点到平面的高 ---------------5分 （2）取的中点Q，连接，---------------6分 N为的中点 且， M为的中点， ，且 且 四边形是平行四边形， 且 同理可证且 且 为异面直线与所成角(或其补角).---------10分 在正方形中，，E为中点 . 异面直线与所成角的余弦值为.--------13分 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，；----------3分 （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； ----------------4分 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以；------------------7分 又因为平面，平面， 所以平面；----------------8分 （3） 在上存在的中点使得平面平面，-------9分 证明如下： 取的中点，连接CF，EF； --------------10分 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面；---------------------------12分 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面．----------------15分 17． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【详解】（1）因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. （2）因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 18． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）先由二面角的定义得到是二面角的平面角，然后利用余弦定理解三角形可得结果； （3）设，则，以为底，三棱锥的高的最大值为，然后利用三棱锥体积公式表示三棱锥的体积，利用二次函数的最值可得结果. 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 19． 【答案】(1)证明见解析，四面体EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； (2)4 (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、求二面角 【分析】（1）推导出，从而平面，进而，再由，能证明平面；由平面，平面，能得到四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是． （2）由是阳马的高，得到；由是鳖臑的高，得到，由此能求出的值． （3）由面EDB与面ABCD所成二面角求出，再算出的外接圆半径与圆心到相关点的距离，设外接球球心到平面的距离，分球心与异侧、同侧两种情况列方程求，得到外接球半径，再利用球的表面积公式算出结果. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 因为ABCD为长方形，所以， 因为，平面PCD， 所以平面PCD，因为平面PCD，所以， 因为PD=CD，点E是PC的中点，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （2）解：由已知，PD是阳马P-ABCD的高， ， 由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，， ， 在中，，点E是PC的中点， ， ． （3）解：取DC中点F，连接EF，过F作，连接EG； 因为E，F是PC，DC中点，所以，又平面， 所以平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，，平面EFG， 所以平面EFG，所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设，又因为，所以，所以， 所以，又EF=1，得 所以，解得， 因为CD=2，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为r，外接圆圆心为O， 则，， 过点O作，，垂足分别为M，K，连接OF， 则，， 又DF=1，所以，所以， 设球心为，设，若球心和点E位于平面DHB异侧， 则， ，三棱锥E-HBD的外接球的半径为， ， 若球心和点E位于平面DHB同侧， 则 解得（舍去）． 综上，三棱锥E-HBD的外接球的表面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学 一、选择愿：本大题共8小愿，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答愿卡相应的位置上， 1.已知复数：=2+1 5 (1为虚数单位)，则复数：在复平面内对应的点为() () a(引 c() 2.由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有() 食 ① ② A.@③ B.①③ c.②④ D.①④ 5.已知直线m,n与平面a,B,Y,则a⊥B的一个充分条件是() A.m⊥a,m⊥f B.a⊥Y,B⊥7 C.m⊥B,mca D.anf=n,mCa,m⊥n 4.如图，正方体ABCD-ARGD中，E为BC的中点，则AE与平面BCC,B所成的角的余 弦值为() D B. c. 3 D月 5.已知向量ā=(3,4)，向量6=(-l,2),则向量ā在向量6上的投影向量为() A（到 居引 c.(-12) D.(L-2) 6.如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底 长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是() 试卷第1页，共6页 A.8+2W6+22B.4+6+5 C.8+5 D.8+2W6+4W5 7.某枚为了加强食常用餐质量，该枚随机调查了400名学生，得到这400名学生对食登用 餐质量给出的评分数据（评分均在S0,100)内），将所得数据分成五组：[50,60)，[60,70) [70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的须岸分布直方图，估计学生对食堂用餐质昼 的评分的第60百分位数为() 个频串/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 5060708090100评穷 A.82.5 B.815 C.87.5 D.85 8.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面ABC,∠ACB=90,∠ADB=30,若点本B,C,D 均在球O的球面上，且AB=2,则球O的浅面积为() A.9x C.12x D.16x 二、选择愿：本愿共3小题，每小题6分，共18分在每小愿给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在100个婴件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样 本 方法一：采用简单随机抽样的方法，将罗件编号为00,0L,,99,用抽签法抽取20个： 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三 级品中随机抽取10个 对于上述问愿，下列说法中正确的有() A不论采用辱种拍样方法。这100个零件中每个罕件技拾到的展半都是写 试卷第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App B.采用不同的方法，这100个婴件中每一个零件技抽到的可能性各不相同 C.在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特 征 D。在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特 征 10.下列说法中正确的是() A.复数z=3+布的模=5 B.若复数2=+2-为纯瑰数，则尖数a=-2 。C.已知m,m,neR,2i是关于x的方程X+r+n=0的一个根，则m+n=4 D.若复数：满足-刂=2，则z+的最小值为2+√互 11.已知正方体ABCD-ABCD的校长为2，点E,F分别是战段CD,BC的中点，平面a 过点4，B,F且与正方体ABCD-ARGD形成一个截面图形，下面说法正确的是() A,直线AE与BB是异面直段 B.截面图形是一个五边形 C.若点/在正方形C0,G内（合边界位置），且Ie平面a,则点的轨迹长度为 2 D.截面图形的周长为23+√互 三、填空愿：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001， 0D,,699,700.从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向 右读取数据，则得到的第4个样本编号是 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892346 ￥ 1B.如图，在正四棱台BCD-48GD中，48=2,4B=6,若读四棱台的体积为25 3 则该四枚台的高是，其外接球表面积为·（第一空2分，第二空3分） 试卷第3页，共6页 14.在长方体ABCD-8GD中，AD=3,8=互，4=5，长方体我面.上的动点P满 足PA=2,则点P的轨迹长度为 四、解答愿：本题共5小题，共T7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骠 15.(13野)如图，在正四控柱ABCD-人RGD中，4=4，B=2,E,M.N分别是BC, BB,AD的中点， D D (1)求三枚锥C-CDE的体积： 气2)求异面直线MN与GD所成角的余弦值. 16.(I5分)如图所示，在四梭锥P-MBCD中，BCI/平面PMD,8C=21D,B是PD的 中点 (I)求证：BC11AD: (2)求证：CE/平面PAB: ()在AD上是否存在点F使得平面CEF/I平面PAB,若存在，求出点F的位置并给以证明， 若不存在，请说明理由。 试卷第4页，共6页 流织 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 17.(15分)已知西BC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,设向量 m=(sin A,b+c).n=(sinC-sin B,a+b).m//. ()求角C: 2)若b=4,BC的面积为25，D为BC边的中点，求AD的长 18.(I7分)如图，aMBC中，ACB=交，4C=BC=4,E、F分别是BM、BC边上的动 点，且EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四校锥P-ACFE, D (Q)求证：EF⊥PC: (2)若F为BC中点，且PC=万，求二面角P-EF-C的余弦值： (3)若D为AC中点，当点E在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥P-CDF的体积的 最大值 试卷第5页，共6项 19.(17分)（九章算术）中，将底面为长方形且有一条侧枚与底面垂直的四梭锥称之为阳 马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鉴既.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧校 PD⊥底面ABCD,且PD-CD-2,点E是PC的中点，按DE、BD、BE. (1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鉴霸，若是，写出其每个面的直角（只 需写出结论)：若不是，请说明理由： ②)记阳马P4BCD的体积为片，四面体EBCD的体积为%，求文的值 )设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为？，求三按锥B,HBD 的外接球的表面积。 试卷第6页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App