11.3.1 平行直线与异面直线 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦立体几何初步中的平行直线、异面直线及空间四边形，通过“尝试与发现”衔接初中平行线知识，利用棱柱模型直观引入空间平行线传递性，构建平面到空间的认知支架。 其亮点在于以数学眼光观察空间图形，通过等角定理证明培养逻辑推理能力，结合空间四边形中点连线例题发展几何直观。小结结构化梳理知识点，助力学生系统掌握，教师可借助多样化练习提升教学效率。

第十一章 立体几何初步 11.3.1平行直线与异面直线 《人教B版2019高中数学必修第四册》 同初中几何一样，我们仍然把在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线. 不难看出，尝试与发现中的两个结论在空间中仍成立，即 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线互相平行． 这也就意味着，初中所学习的平行线的判定与性质等，在空间中还成立.例如，在空间中同样有“同位角相等，两直线平行”，当然，这里的同位角还是要在同一平面内才行(不共面的两个角，没有同位角之说‌). 由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系.例如，如图11-3-2所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有 AA1∥BB1∥CC1∥DD1∥EE1. 由空间平行线的传递性可以得到空间中的等角定理： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等 上述结论（2）通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：如果a//b,a//c，则b//c．如图11-3-1所示． 下面我们结合图11-3-3，来给出一般情况下等角定理的证明． 如图11-3-4所示,在AB上取一点E,在A'B＇上取一点E',使得AE=A′E′;在AC上取一点F,在A′C′上取一点F′,使得AF=A′F′. 因为AE ∥ A′E′,所以AEE'A＇是一个平行四边形,从而AA′// EE′.同理，AA′// FF′.由空间平行线的传递性可知EE′// FF′，因此EFF'E'是一个平行四边形，所以EF=E′F′.于是有ΔEAF≅ΔE′A′F′，从而∠EAF=∠E′A′F′. = = = = 我们已经知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，而且前面也从几何体中直观认识了异面直线.事实上，异面直线在实际生活中也是广泛存在的，如图11-3-5所示． 两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内.因此，为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图11-3-6所示． 在图11-3-6(1）中，AB∩α=B， A∉α,l⊂α, B∉l，此时，直线l与直线AB是异面的.这是因为同时通过直线l与点B的平面只能是α，如果l与AB共面，则A∈α，这与A∉α矛盾.由此可总结出异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形，如图11-3-8所示． 空间四边形用表示顶点的4个字母表示．如图11-3-7所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB,BC,CD,DA，对角线为AC,BD. 例 如图11-3-9所示空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,AD,CB,CD的中点.求证：四边形EFHG是平行四边形. 证明 在ΔABD中，因为E,F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD且EF=BD. 同理，GH∥BD且GH=BD. 因此EF//GH ，所以四边形EFHG是平行四边形. = 练习A ①把一张长方形的纸对折两次,打开以后如图所示,说明为什么这些折痕互相平行. ② 空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗? ③ 判断下列命题的真假. （1)4条边相等的空间四边形是菱形； （2）空间中,与同一条直线异面的两条直线一定异面； （3）空间中,如果∠BAC=∠B′A′C′且AB∥A′B′,则AC∥A′C′. ④画出三棱锥S-ABC,写出其棱所在直线中互为异面直线的直线. ⑤ 画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线,使这两条直线分别成为 （1）相交直线； （2）平行直线； （3）异面直线． 由折叠对称性得，折痕与底边所成角为90o，由同旁内角互补，两直线平行得，相邻两折痕平行。由平行传递性得，这些折痕互相平行。 不一定。如果这两个角的方向相同，则这两个角的大小相等。如果这两个角的方向相反，则这两个角的大小互补。 (1) 假命题；可能不共面 (2) 假命题；相交平行都要有可能 (3) 假命题。直线间的关系情况都有 互为异面的直线：SA与BC，SB与AC，SC与AB。 练习B ①已知直线a,b和平面α，且b⊂α,a∩b=A a∩α=A. 试作图表示出它们之间的位置关系. ② 直线AB与直线CD是异面直线，那么直线AC与直线BD一定异面吗？为什么？ ③在四面体ABCD中，已知AC=BD，且E,F,G，H分别是AB,BC,CD,AD的中点.求证：四边形EFGH是菱形. ④ 如图，在长方体的面A1B1C1D1上有一点P，怎样才能作出过点P且与CD平行的直线？ 直线AC和直线BD一定是异面直线.假设直线AC和直线BD共面于平面α. 因为A∈ AC，AC⊂α，所以A∈α. 同理可证点B，C，D都在平面α内.因此AB和CD都在平面α内，与已知直线AB和直线CD为异面直线矛盾。可知假设不成立，直线AC和直线BD为异面直线. 因为EF//AC，GH//AC，EF=AC，GH=AC，所以EF平行且等于GH，因此四边形EFGH为平行四边形；又因为AC=BD，EF=AC，EH=BD，所以EF=EH. 因此四边形EFGH为菱形. 根据平行于同一直线的两条直线平行可知，过点P作直线C1D1的平行线即可. b 小结 知识点01平行直线与等角定理 1、空间平行线的传递性 (1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． (2)符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c. (3)性质应用：判断或证明空间中两条直线平行. 2、等角定理 (1)文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 (2)等角定理的两个推论 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。 (3)作用：判断和证明两个角相等或互补。 小结 知识点02 异面直线 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线. 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 知识点03 空间四边形 1.定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形， 其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD. 空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形． 小结 知识点04空间两条直线的位置关系 相交直线： 同一平面内，有且只有一个公共点. 平行直线：同一平面内，没有公共点.   异面直线 ：不同在任何一个平面内，没有公共点.  方法归纳 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．    巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 （1）已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 解析：因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或 150°. B 巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 (2)下列结论正确的是(　　) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在同一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 若两个角相等,则它们的两边不一定分别平行,如图,故A错误; 由空间四边形的定义知,B,C错误,D正确. D 巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 （3）已知∠AO1B和∠CO2D,∠AO1B=50°且O1A∥O2C,O1B∥O2D,则∠CO2D=　 　　　. 如图1,此时∠CO2D=∠AO1B=50° 如图2,此时∠CO2D=180°-∠AO1B=130° 综上,∠CO2D=50°或130° 50°或 130° 巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 （4）在空间四边形ABCD中,AC⊥BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH是(　　) A.菱形　　　　B.矩形　　　　C.梯形　　　　D.正方形 如图,在△ACD中,H,G分别为边AD,DC的中点,所以HG为△ACD的中位线,所以HG∥AC且HG=AC.同理,HE∥BD且HE=BD,GF∥BD且GF=BD,所以HE // GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又AC⊥BD,HG∥AC且HE∥BD,所以HG⊥HE,所以平行四边形EFGH是矩形. = B 巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 (5)如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． ①求证：四边形BB1M1M为平行四边形； ②求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【证明】　①∵ABCD - A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． 巩固提升 1.空间平行线的传递性与等角定理的应用 (5)如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． ①求证：四边形BB1M1M为平行四边形； ②求证：∠BMC＝∠B1M1C1. ②证法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 证法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 巩固提升 2.空间两直线位置关系的判断 (1)如图，正方体ABCD - A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； ④直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 平行 异面 相交 异面 根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”． 巩固提升 2.空间两直线位置关系的判断 (2)已知直线a,b,c,若a与b是异面直线,a与c平行,则b与c的位置关系是(　　) A.平行　　　　B.相交 C.异面　　　　D.相交或异面 D (3)已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明． 直线a与c的位置关系有三种，如图所示． 直线a与c可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图②所示)，还可能异面(如图③所示)． 巩固提升 2.空间两直线位置关系的判断 (4)下列正方体中,M,N,P,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线MN和PQ为异面直线的是(　　) 对于A,如图(1),PQ∥CD∥AB∥MN,则M,N,P,Q四点共面,故A不符合题意;对于B,如图(2),MP∥GH∥EF∥NQ,则M,N,P,Q四点共面,故B不符合题意;对于C,如图(3),MP∥KL∥NQ,则M,N,P,Q四点共面,故C不符合题意;对于D,如图(4),PQ⊂平面MPQ,N∉平面MPQ,M∈平面MPQ,M∉直线PQ,则MN与PQ是异面直线,故D符合题意. D 巩固提升 2.空间两直线位置关系的判断 (5)(多选题)已知α,β为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法错误的是(　　) A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面 C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面 D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面 对于A,若a⊂α,b⊂β,则a与b相交、平行或异面,故A错误;对于B,若a与b异面,b与c异面,则a与c相交、平行或异面,故B错误;对于C,若a,b不同在平面α内,则a与b相交、平行或异面,故C错误;对于D,根据异面直线的定义知D正确. ABC 巩固提升 2.空间两直线位置关系的判断 (6)如图所示，已知α＝a，b⊂β，a＝A，且c⊂α，c∥a.求证：b，c为异面直线． 证明：假设b，c不是异面直线，则b，c一定相交或平行． 若b，c相交于一点P，b⊂β，c⊂α， 又α＝a，则P∈b⊂β，且P∈c⊂α，所以交点P一定在α，β的交线上，即P∈a， 所以a＝P，这与已知a∥c矛盾， 故b，c不可能相交． 若b∥c，又已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a＝A矛盾，故b，c不可能平行． 综上可知b，c为异面直线． 巩固提升 3.空间四边形相关问题 (1)如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（    ） A.点P必在平面ABD内 B.点P必在平面CBD内 C.点P必在直线BD上 D.直线FG与直线BD为异面直线 因为直线EH在平面ABD内，且P∈EH，所以点P必在平面ABD内，故A正确； 同理直线FG在平面CBD内，且P∈FG，所以点P必在平面CBD内，故B正确； 由A，B选项得点P在平面ABD内，也在平面CBD内， 由基本事实3得点P在交线BD上，故C正确；直线FG与直线BD为相交直线， 故D不正确， D 巩固提升 3.空间四边形相关问题 (2)如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 因为F,G分别是边BC，CD上的点，且==， 所以GF//BD，且GF=BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以EH//BD，且EH=BD，EH//GF，且EH≠GF， 所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD=AC，所以M在直线AC上． D $