11.3.1 平行直线与异面直线课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.3.1 平行直线与异面直线 32999 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质.（重点） 2.理解并掌握等角定理，并会应用.（难点） 3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线.（重点） 4.了解空间四边形的定义. 学习目标 32999 l m n (1)如图，初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？ (2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 仍然成立 仍然成立 问题探究 32999 想一想： （1）铁轨、路灯杆和纸上折痕所在的直线具有怎样的关系？ （2）对于空间中的两条直线，它们有怎样的位置关系？ 情景导入 32999 1.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 2.空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3.图形语言： 4.符号语言： a b c 一、平行 知识梳理 32999 例1：如图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是 . 平行 解析： ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG. 典例分析 32999 不会变化，有∠ABC＝∠A′B′C′. 追问：如图，在空间内，若AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向.则∠BAC与∠B′A′C′还相等吗？说明你的理由. C′ B C A B′ A′ 仍有∠BAC＝∠B′A′C′. 如图，在同一平面内，将∠ABC平移到∠A′B′C′，角的大小是否发生变化？ 二、等角定理 问题探究 32999 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 图形语言： 符号语言： AC//A'C' AB//A'B' AC与A′C′方向相同 AB与A′B′方向相同 ⟹ ∠BAC=∠B′A′C′. 知识梳理 32999 解析：在 AB上取一点 E，在 A'B'上取一点E'，使得 AE=A'E'；在 AC上取一点 F，在 A'C'上取一点F'，使得 AF=A'F'； ∵AE∥A'E'且 AE=A'E' ，∴ AEE'A'是一个平行四边形，∴ ， 同理 由空间平行线的传递性可知 ， ∴EFF'E'是一个平行四边形，∴EF=E'F'；于是有 EAF≌E'A'F' ，从而∠EAF=∠E'A'F'. F' E' E F 如图，如何证明等角定理？ A B C A' B' C' 问题探究 32999 从前面课中学习到异面直线，如图，实际生活中的异面直线. 1.异面直线的概念：指的是空间中，既不平行也不相交的直线. 三、异面直线 知识梳理 32999 10 为了表示异面直线，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示. 2.异面直线的画法 A B b a a b b a 知识梳理 32999 （1）两图中直线m和l是异面直线吗? α β l m m l 不一定 不是 （3）如何判断两条直线是异面直线？ （2 ,则与是异面直线吗？ 是否在同一平面内 是 问题探究 32999 这是因为同时通过直线与点B的平面只能是（过一条直线与直线外一点有且只有一个平面），如果l与直线AB是共面的，则 A，这与 A矛盾. 与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 3.异面直线的判定 判定两条直线是异面直线的方法：①定义法，②定理法，③反证法. A B l AB B, A l Bl 直线l与直线 AB异面 知识梳理 32999 (1)相交 (2)平行 只有一个公共点 没有公共点 在同一平面 总结：空间中两直线的三种位置关系 (3)异面直线 没有公共点 不同在任一平面 知识梳理 32999 C A B D 如图，将平面四边形ABCD沿着BD折起来，得到怎样的图形？ A C D B 四、空间四边形 问题探究 32999 像折后的空间图形ABCD这样，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形. 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线. 1.空间四边形的定义 2.空间四边形的元素 A C D B 知识梳理 32999 16 A C D B 四条边 对角线 空间四边形用表示顶点的四个字母表示，如下图中的四边形可以表示为空间四边形ABCD,线段AB，BC，CD，DA是它的四条边，线段AC，BD是它的对角线. 3.空间四边形的表示 知识梳理 32999 例2：如图所示的空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,AD,BC,CD的中点， 求证：四边形EFHG是平行四边形. 解析：在△ABC中，因为E,F分别是AB,AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD且EF= BD , 同理,且 GH∥BD,GH= BD,因此 EF平行且等于GH ，所以四边形EFGH是平行四边形. A B C D E F G H 典例分析 32999 1.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(　 　) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析：如图，在长方体中，AA1与BC异面， （1）BB1∥AA1，且BB1与BC相交于B，（2）DD1∥AA1，且DD1与BC异面.但不可能平行，因为那会导致两条异面直线平行，与题设矛盾. B 当堂检测 32999 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:∠BGC=∠FD1E. 解析：因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点, 所以CE∥GD1,BF∥GD1. 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E,GB∥D1F. 因为∠BGC与∠FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同, 所以∠BGC=∠FD1E. 当堂检测 32999 课堂总结 32999 $