第8讲 幂函数与二次函数·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数综合应用，通过选择、填空、解答多题型覆盖概念理解、性质迁移及实际问题解决，强化知识内在逻辑与核心素养训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数性质|选择1/4/6/9/10|单调性、奇偶性、图像特征判断|从幂函数定义出发，结合指数取值分析单调性与奇偶性，建立图像与性质的对应关系| |二次函数应用|选择2/3/5/7/8、填空13/14、解答16/17/18/19|方程根分布、最值、恒成立问题|以二次函数解析式为基础，通过判别式、韦达定理及图像分析解决根的分布，结合区间分类讨论最值，体现函数与方程思想| |综合交汇|填空12、解答15|概念辨析与综合运算|整合幂函数与二次函数概念，通过奇偶性确定解析式，结合复合函数考查最值，强化知识横向联系与推理能力|

第8讲 幂函数与二次函数 ·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·师大附中·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. D. 2.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 3.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.已知幂函数的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 5.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.已知幂函数，若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·濮阳·二模）的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·金丽衢·二模）已知幂函数为增函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 函数为增函数 C. 函数极大值为2 D. 若，则 10.已知幂函数的图象关于原点对称，若满足成立，则实数可以取的值为（ 　　） A. B. C. D. 11.已知，，，则下列结论正确的是（ 　　） A. 实数的取值范围是 B. 实数的取值范围是 C. 可以取 D. 可以取 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿. 13.已知，，若对，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2025·沧州五县·一模）已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 16.（15分）已知． （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：． 17.（15分）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为0，最小值是，求实数和的值． 18.（17分）二次函数为偶函数，，且恒成立． （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值． 19.（17分）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 幂函数与二次函数 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C A C D C 6 7 8 9 10 A A B AC ABC 11 12 13 14 15 ACD ②③④⑤ （1） （2）最大值为， 16 17 18 19 见解析 （1） （2） 或 （1） （2） 1.（2026·师大附中·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】∵ 为幂函数，∴ ，解得或. 又函数在上单调递减，∴ 指数，解得. 故时符合条件. 【点拨】幂函数的系数必须为1，且在第一象限单调递减时要求指数小于0，由此列出方程与不等式即可求解. 2.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】∵ 关于 的方程 有两个实数根， ∴ ， 解得：. ∵ 关于 的方程 有两个实数根 ，， ∴ ，. ∴ ，即 ， 解得： 或 (舍去). 故选：A. 【点拨】处理一元二次方程根与系数的关系时，切记先验证判别式这一隐含前提，避免产生增根. 3.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令 ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间 内，另一根在区间 内， 只需 ，即 ， 解不等式组可得 ，即 的取值范围为 . 故选：C. 【点拨】二次方程根的分布问题常转化为二次函数图象与轴交点问题，通过端点函数值的符号即可快速锁定参数范围. 4.已知幂函数的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 【答案】D 【解析】∵ 函数 的定义域为 ，且在 上单调递减， ∴ . ∵ 函数 的图象关于 轴对称， ∴ 函数 为偶函数，即 为偶数. 又 互质，∴ 为奇数. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【点拨】分数指数幂函数的奇偶性由分子分母的奇偶性决定，图象在第一象限的增减性则由指数的正负决定. 5.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令 ， 由方程 在区间 上有两个不相等的实数解可得 ，即 或 ， 解得 . 故选：C. 【点拨】二次方程在指定区间内有两异根，需同时满足判别式大于零、对称轴在区间内以及两端点函数值大于零三个条件. 6.已知幂函数，若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由幂函数 ，可得函数 的定义域为 ，且是递减函数. ∵ ，∴ ，解得 ， 即实数 的取值范围为 . 故选：A. 【点拨】利用幂函数的单调性解不等式时，必须首先保证自变量在函数的定义域内，这是容易被忽略的陷阱. 7.（2026·赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，其图象在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，. ∵ 是上的最大值，是上的最大值，且. 若，则包含和，此时.而，包含区间的一部分，，此时，不成立. 若，在上递减，. 在上，若，递减，. 由得，解得. 结合即，得. 若，上的最大值仍为. 在上，先减后增，最大值. 由得，即且. 且，解得. 且，解得. 综合得. 当时，，会超过1，导致，从而，不满足. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点拨】处理含绝对值的二次函数最值问题，关键在于结合图象的单调性分段讨论.通过限制最大值可快速缩小的范围. 8.（2026·濮阳·二模）的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令 ，首先求定义域，需满足 ，解得 . 设内层函数 . 当 时， 取得最大值 . ∵ 外层函数 在 上单调递增， ∴ 当 取得最大值 9 时， 取得最大值 . 故选：B. 【点拨】复合函数的最值问题遵循“同增异减”原则，配方法是求二次函数最值的核心手段. 9.（2026·金丽衢·二模）已知幂函数为增函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 函数为增函数 C. 函数极大值为2 D. 若，则 【答案】AC 【解析】∵ 为幂函数，∴ ，解得 ，即 或 . 又 为增函数，∴ ，故 . ∴ ，选项A正确. 对于B，，求导 ，在 时，若 接近 ， 可能为负，故不单调，选项B错误. 对于C，，求导 . 令 得 或 . 当 时，；当 时，. ∴ 当 时，函数取得极大值，极大值为 ，选项C正确. 对于D，. ∵ ，∴ . 此时 ，，∴ ，即 . ∵ 在 上单调递增，∴ ，选项D错误. 故选：AC. 【点拨】确定幂函数解析式需同时满足系数为1和单调性要求.利用导数分析函数极值和单调性是解决此类综合题的通用方法. 10.（改）已知幂函数的图象关于原点对称，若满足成立，则实数可以取的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】∵ 函数 是幂函数，∴ ，解得 或 . 当 时， 是偶函数，其图象关于 轴对称，与已知 的图象关于原点对称矛盾； 当 时， 是奇函数，其图象关于原点对称，于是得 . 不等式 化为：，即 ，解得：. ∴ 实数 的取值范围为 . 结合选项， 均在此范围内. 故选：ABC. 【点拨】求解幂函数参数时，不仅要利用系数为1建立方程，还需代入检验奇偶性是否符合题意. 11.（改）已知，，，则下列结论正确的是（ 　　） A. 实数的取值范围是 B. 实数的取值范围是 C. 可以取 D. 可以取 【答案】ACD 【解析】∵ 已知 ，∴ 或 ①； ∵ ，∴ ②； ∵ ，∴ ③. 综合①②③，求得实数 的取值范围为 . 结合选项，A正确，B错误，C、D中的值均在范围内，正确. 故选：ACD. 【点拨】解对数不等式时，必须对底数与的大小关系进行分类讨论，同时注意真数大于零的隐含条件. 12.下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿. 【答案】②③④⑤ 【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确； 图象是直线 上去掉点 ，②错误； 函数 的定义域是 ，则它的值域是 ，③错误； 函数 的定义域是 ，则它的值域是 ，④错误； 若函数 的值域是 ，则它的定义域也可能是 ，⑤错误. 故不正确命题的序号为②③④⑤. 【点拨】零指数幂的底数不能为零，这是判断其图象特征的关键；求值域时要注意开闭区间的准确性. 13.已知，，若对，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵ 对 ，，， ∴ 只需 即可. ∵ ，， ∴ ，. 由 ， 解得 . 故实数的取值范围为. 【点拨】全称量词与存在量词混合的恒成立问题，可转化为两个函数在各自区间上的最值比较，即“最小值大于等于最小值”. 14.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】不等式变形为 ， 所以 . 令 ，则有 . ∵ 函数 在 上单调递增， ∴ 在 上单调递增， 则 ，解得 . 故不等式的解集为 . 【点拨】遇到结构复杂的代数式，优先考虑构造函数，利用函数的单调性将复杂不等式转化为简单的不等式. 15.（13分）（2025·沧州五县·一模）已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 【答案】（1） （2）最大值为， 【解析】（1） 根据题意可得 ，即 ， 2 分 所以 ，解得 或 ， 4 分 又∵ 函数 是定义在 上的偶函数， ∴ ，即函数 的解析式为 ． 6 分 （2） 由（1）可知 9 分 ∵ ，∴ ， 11 分 当 时，，函数 的最大值为 ． 13 分 【点拨】求解函数最值时，通过换元法将对数函数转化为二次函数，注意务必求出新变量的取值范围. 16.（15分）已知． （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1） ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， 3 分 则不等式 即为 ， 即 ， 5 分 若 ，则不等式的解集为 ； 若 ，则不等式的解集为 ； 若 ， 当 时，则不等式的解集为 ； 当 时，则不等式的解集为 ； 当 时，则不等式的解集为 ； 7 分 （2） 若 ，则 ，， 当 时， 则 无解， 所以 ； 9 分 若 时，由 ，得 ， 对称轴为 ，假设 ， 11 分 区间 在对称轴的左外侧或右外侧，∴ 在 上是单调函数， 则 的最值必在 ， 处取到， ，，， 13 分 ∴ 假设错误，则 ， 综上，得到 . 15 分 【点拨】解含参一元二次不等式时，必须对二次项系数的符号以及两根的大小关系进行全面、细致的分类讨论. 17.（15分）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为0，最小值是，求实数和的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】（1） 当 时，不等式 ， 即为 ， 3 分 即 ，所以 ， 所以 或 ， 所以原不等式的解集为 ． 6 分 （2） ， 由题意 或 ，这时 解得 ， 11 分 若 ，则 ，所以 ； ∵ ，即 ， ∴ ，则 ， 综上， 或 ． 15 分 【点拨】处理二次函数在闭区间上的最值问题，核心是判断对称轴与区间的相对位置关系，结合图象直观分析. 18.（17分）二次函数为偶函数，，且恒成立． （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 依题设 ， ∵ ，∴ ， 2 分 ，得 恒成立， ∴ ， 4 分 得 ， 所以 ，又 ， 所以 ， ∴ ； 6 分 （2） 由题意可得：，， 若 ，则 ，则 在 上单调递增， ∴ ； 9 分 若 ，当 ，即 时， 在 上单调递减，； 当 ，只须比较 与 的大小， 由 ，得：，此时 ， 时，，此时 ， 14 分 综上，， 时，， 时，， 时，， 综上可知： 的最小值为 ． 17 分 【点拨】恒成立问题常转化为判别式小于等于零求解；含绝对值的二次函数最值需对对称轴位置及端点、极值点大小进行细致比对. 19.（17分）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 【答案】 【解析】令 ，分别取 ，可得 ， ，． 6 分 由 ，利用绝对值三角不等式可得 ， 12 分 ∴ . 当 ， 时，，当且仅当 时取等号，而 ，， 得 在 上的最大值为 ，说明等号能成立． 17 分 ∴ 的最小值为 ． 【点拨】利用特殊点赋值法结合绝对值三角不等式，是求解此类函数最大值的最小值的巧妙且高效的方法. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $