课后作业11 幂函数与二次函数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习以幂函数与二次函数为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|幂函数定义、二次函数定义域值域|单选1-3直接考查概念，填空9开放题强化性质理解| |能力提升|单调性、奇偶性、参数范围|单选4-6结合定义域值域综合分析，多选7-8深化性质应用| |综合应用|实际情境与创新题型|解答题11-14融合测量误差、切比雪夫偏差，培养数学建模与创新思维|

课后作业(十一)　幂函数与二次函数 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共98分 一、单项选择题 1．已知幂函数f (x)＝(m2＋2m－2)xm+2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为 (　　) A．1 B．－3 C．－4 D．1或－3 2．(人教B版必修第二册P36例2改编)幂函数f (x)＝的大致图象是　 (　　) A　　　 B　　　　C　　　D 3．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 (　　) A．(0，4] B． C． 4．(2025·云南昭通期中)已知幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，且函数g(x)＝f (x)－2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(－∞，1]∪[3，＋∞) 5．已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，0) D．(－∞，0] 6．(2026·黑龙江大庆模拟)设函数f (x)＝x2＋2x，h(x)＝kx－1(k≠0)，若对任意的x1∈[－2，0]，存在x2∈[－2，1]，使得f (x1)＝h(x2)，则实数k的取值范围是 (　　) A． ∪(0，1] C． D．[1，＋∞) 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数f (x)的图象经过点(9，3)，则 (　　) A．函数f (x)为增函数 B．函数f (x)为偶函数 C．当x≥4时，f (x)≥2 D．当x2>x1>0时， 8．已知函数f (x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f (m)<0，则下列关系一定成立的是 (　　) A．f (m＋1)>0 B．f (m＋2)>0 C．f (m－1)<0 D．f (m－2)>0 三、填空题 9．幂函数f (x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f (－x)＝f (x)，且f (－1)<f (2)<2．请写出符合上述条件的一个函数f (x)＝___________． 10．已知函数f (x)＝－x2＋x，若f (x)的定义域为[m，n](m<1)，值域为[2m，2n]，则m＋n＝___________． 四、解答题 11．(13分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且满足f (x)＝f (－2－x)，f (0)＝2，点在幂函数g(x)的图象上． (1)求f (x)和g(x)的解析式； (2)定义函数h(x)＝试画出函数h(x)的图象，并求函数h(x)的定义域、值域和单调区间． 12．(13分)已知函数f (x)＝ax2－2x＋1． (1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)． 13．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x1，x2，…，xn共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” a应是 (　　) A． 14．(15分)(2025·江苏淮安期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合I上的函数f (x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f (x)－g(x)|，x∈I的最大值称为f (x)，g(x)的“偏差”． (1)函数f (x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求f (x)，g(x)的“偏差”； (2)函数f (x)＝＋1(x∈[1，2])，g(x)＝kx＋1(k>0)，若f (x)，g(x)的“偏差”为2，求k的值； (3)函数f (x)＝x2－x(x∈[0，3])，g(x)＝2x＋b，若f (x)，g(x)的“偏差”取最小值，求b的值，并求出“偏差”的最小值． 2025课标新变化：强化创新思维的形式与发展． 课后作业(十一) 1．A　[由题意可得⇒⇒m＝1．故选A．] 2．C　3．C 4．A　[因为幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，f (x)＝x，该函数是奇函数，不符合题意； 当m＝2时，f (x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f (x)＝x2， 则g(x)＝x2－2ax，函数图象的对称轴方程为x＝a， 因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，所以a≥3．故选A．] 5．D　[不妨设1≤x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f (x1)－f (x2)>3(x1－x2)恒成立， 即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立． 令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3， 则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减． 当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减， 则 解得a<0． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．] 6．A　[f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在区间[－2，0]上的值域为[－1，0]， 对任意的x1∈[－2，0]，存在x2∈[－2，1]，使得f (x1)＝h(x2)等价于f 是h的值域的子集， 由于h是一次函数，需要满足： 当k>0时，h， 要求－2k－1≤－1且k－1≥0，解得k≥1， 当k<0时，h单调递减，值域为[h(1)，h(－2)]＝[k－1，－2k－1]，要求k－1≤－1且－2k－1≥0，解得 k≤－， 综上，实数k的取值范围为∪．故选A．] 7．ACD 8．BD　[函数f (x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． f (m)＝m2－2m＋a<0， 故m2－2m<－a<0，解得0<m<2． m＋2∈(2，4)，f (m＋2)>f (2)＝a>0，B正确； m－2∈(－2，0)，f (m－2)>f (0)＝a>0，D正确； 取a＝，m＝，f (m)＝－<0，满足条件， f (m＋1)＝f ＝－<0，A错误； f (m－1)＝f >0，C错误． 故选BD．] 9．(答案不唯一)　[取f (x)＝，则定义域为R，且f (－x)＝(－x＝f (x)，f (－1)＝1，f (2)＝，满足f (－1)<f (2)<2．] 10．－2　[因为f (x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，图象对称轴为直线x＝1，当m<n≤1时，f (x)在[m，n]上单调递增， 所以解得 当m<1<n时，f (x)在[m，1]上单调递增，在[1，n]上单调递减，此时f (1)＝－＋1＝＝2n⇒n＝，与n>1矛盾，舍去．综上，m＝－2，n＝0，m＋n＝－2．] 11．解：(1)设二次函数f (x)＝a(x－h)2＋k，a≠0，g(x)＝xα． 因为f (x)的最小值为1，所以k＝1． 因为f (x)＝f (－2－x)，所以h＝－1． 因为f (0)＝2，所以a＝1．所以f (x)＝x2＋2x＋2． 将点代入g(x)＝xα，求得α＝－1， 所以g(x)＝x-1． (2)因为h(x)＝分别画出函数y＝f (x)和y＝－g(x)的图象，如图所示． 由图象可得，h(x)＝所以函数h(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 作出函数h(x)的图象如图， 由图象得，h(x)的单调递增区间为[－1，0)，单调递减区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)． h(x)的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)． 12．解：(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减； 当a>0时，f (x)图象的对称轴为直线x＝>0，又f (x)在[0，1]上单调， ∴≥1，即0<a≤1； 当a<0时，f (x)图象的对称轴为直线x＝<0，f (x)在[0，1]上单调递减， ∴a<0符合题意． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． (2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减， ∴f (x)min＝f (1)＝－1． ②当a>0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上，且对称轴为直线x＝． (ⅰ)当0<<1，即a>1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x)在上单调递增． ∴f (x)min＝f ＋1＝－＋1． (ⅱ)当≥1，即0<a≤1时，f (x)在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． ③当a<0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， ∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． 综上所述，g(a)＝ 13．A　[根据题意得f (a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝na2－2(x1＋x2＋…＋xn)a＋(＋…＋)， 由于n>0，所以f (a)是关于a的二次函数，因此当a＝，即a＝时，f (a)取得最小值．故选A．] 14．解：(1)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝，x∈[0，1]， 因为x∈[0，1]，由二次函数的性质可得y＝∈[1，3]， 所以y＝∈[1，3]， 故函数f (x)，g(x)的“偏差”为3． (2)令t＝f (x)－g(x)＝＋1－(kx＋1)＝－kx，x∈[1，2]， ∵k>0，∴t＝－kx在[1，2]上单调递减， ∴t∈． 由题意，y＝|t|，t∈，且ymax＝2． 当≤|1－k|，即0<k≤时，ymax＝|1－k|＝2，解得k＝3或k＝－1，不符合； 当>|1－k|，即k>时，ymax＝＝2，－2k＝2或－2k＝－2， 解得k＝－(舍去)或k＝． 综上得k＝． (3)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2－x－(2x＋b)|＝|x2－3x－b|＝，x∈[0，3]， 因为x∈[0，3]， 所以－b∈， 由y＝， 则ymax＝max， 令|b|≥，即b2≥， 解得b≤－， ymax＝max＝ 故当且仅当b＝－时，有(ymax)min＝． 故当b的值为－时，函数f (x)，g(x)的“偏差”取最小值，且最小值为． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $