20.4+一次函数的应用（第2课时）课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，通过行李托运费图像问题导入，引导学生分析关键点、斜率与截距的实际意义，衔接待定系数法，为解决求值、比较及方案选择等实际问题搭建学习支架。 其亮点是以追及问题、警车余油量、租房方案等情境化案例为载体，通过图像分析培养几何直观（数学眼光），用待定系数法和方程不等式推理解决问题（数学思维），强化函数建模（数学语言）。教学环节层层递进，小结提炼数形结合与建模方法，助力学生提升应用意识，为教师提供丰富实例与系统教学思路。

20.4 一次函数的应用 （第2课时） 第二十章一次函数 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数图像中关键点、斜率、截距的实际意义，并能运用待定系数法求出函数解析式 能够利用一次函数的图像或解析式，解决生活中的求值、比较和方案选择等实际问题 体会 “数形结合” 的数学思想，感受数学与生活的紧密联系，增强应用数学的意识 情境导入 某航班托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（kg）之间的关系如图所示. （1）求y与x之间的函数关系式. （2）依据（1）中求得的函数关系式，确定该航班可以免费携带行李的质量，最多是多少千克？ 例题讲解 例1 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶，出发3h后，乙 骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶.速度为25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h).求： ①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指 出自变量x的取值范围. ②乙离开出发地的路程.y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指 出自变量x的取值范围. (2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像，并结合 实际问题，解释两图像交点的意义. 知识点 两个一次函数的综合运用 1 解：(1)由公式s=vt，得 ①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x. 自变量x的取值范围为x≥0. ②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3)，即y=25x-75. 自变量x的取值范围为x≥3. x/h y/km O 1 2 3 4 5 10 40 20 30 50 甲 乙 (2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像的交点坐标是(5，50)，即甲出发 5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲). 此时，两人距离出发地50 km. 全品初中 新知探究 利用一次函数解决实际问题 利用函数方法解决实际问题， 关键是分析题中的等量关系，联系实际生活及以前学过的内容， 将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模， 再利用一次函数的性质解决问题. 一次函数的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接应用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图像提供一次函数的情境式，进而利用一次函数的性质解决问题． 典例分析 例1 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻,在公路旁的某加油站加满油后,以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后,油箱中的余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分. (1)求直线l的函数表达式. 图像中可以看出，函数图像是一条不经过原点的直线，所以是一次函数，且过点(1,56),(4,44) 解：(1)设直线l的函数表达式为 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： 典例分析 例1 (2)警车加满油时,油箱中的油量是多少升? (3)已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于10L,则其巡逻的最远路程是多少千米? 解：(2)在函数中,因为时,,所以警车加满油时,油箱中的油量是60L 实际问题中，加满油是初始状态，即时，求y的值 (3)若警车返回加油站时油箱中的余油量为10L,则警车往返的耗油量为50L, 单程行驶的耗油量为(L). 警车行驶至最远时,油箱中的余油量为. 将代入,得 解得： 而. 所以,警车巡逻的最远路程是. 通过 “剩余油量限制” → 推导出 “总耗油量上限” → 推导出 “单程耗油量上限” → 推导出 “最远点剩余油量” → 代入函数求出 “行驶时间” → 最终求出 “最远距离” 例2 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后，油箱内的余油量y(L)与行驶时间x（h）之间的函数关系式图象如图所示的直线l的一部分. 例题讲解 （1）求直线l的函数表达式. （2）警车加满油时，油箱中的油量是多少？ （3）已知警车往返的耗油量相同，若要求警车按原路返回加油站时，油箱中的余油量不少于10L，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 全品文教初中 解: (1)设直线l的函数表达式为y=kx＋b， 由图可知图象过(1，56),(4，44) ∴这个函数的表达式为y=-4x+60. (2)当x=0时，y=60,所以警车加满油时，油箱中的油量是60L. 解得 ∴ (3)若警车返回加满油时油箱中的余油量是10L，则警车往返耗油量是50L，单程行驶的耗油量是 （L）.警车行驶至最远时，油箱中的余油量为60-25=35（L）. 将 y=35代入y=-4x+60中，得35=-4x+60，解得x=6.25. 而6.25×40=250（km).所以警车巡逻的最远路程是250km. 全品文教初中 一起探究 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋.现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为 3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，则需要花装修费4万元. (1)设租用时间为x个月，承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、 乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式. (2)根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算. 知识点 方案设计 2 小亮的做法： (1)租用甲家房屋时，y=3000x，租用乙家房屋时， y = 2000x+40000. (2)①由 3000x=2000x+40000，解得x=40. 即当租用40个月时，无论是租用哪一家，租金都相同. ②由3000x>2000x+40000，解得x>40. 即当租用时间超过40个月时， 租乙家的房屋更合算. ③由3000x<2000x+40000，解得x<40. 即当租用时间少于40个月时， 租甲家的房屋更合算. 小丽的做法： (1)同小亮的做法. (2)在同一直角坐标系中，分别画出： y=3000x ；y=2000x+40000这两个函数的 图像. 观察图像可知，当租用40个月 时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. x/月 y/km O 20 40 40000 160000 80000 120000 乙：y=2000x+40000 甲：y=3000x 60 如何解答实际情景函数图象的信息？ 1.理解横纵坐标分别表示的的实际意义； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” 2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 变式练习 如图，小明购买一种笔记本付款金额 （元）与购买量 （本）之间的函数图象由线段 和射线 组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（　　） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 变式练习 解析: 当 时，设 对应的函数表达式为y=kx＋b， 将坐标 和 分别代入y=kx＋b， 得 解得 当 时， 对应的函数关系式为 . 当 时， ，所以一次购买8本笔记本付款金额为36元， 当 时，每本笔记本的价格为 （元）， （元）， 所以分8次购买每次购买1本付款金额为40元， （元）， 所以一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省4元．故选B. 总结 有些一元一次方程和一元一次不等式问题，可以借助一次函数来考虑。借助一次函数的图像，往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象 新知探究 一次函数图像各元素的实际意义 1.坐标轴 (x 轴，y 轴)： x 轴 (横轴)：通常表示自变量，如时间、数量、里程、工作时间等。 y 轴 (纵轴)：通常表示因变量，如距离、费用、产量、工作量等。 关键点：明确坐标轴上的单位和刻度。 2.图像上的点： 图像上的任意一个点 都对应着实际问题中一对变量的具体数值。 3.图像的斜率 (k)： 一次函数 的图像是一条直线，其斜率 k 表示因变量 y 随自变量 x 变化的速率。 实际意义：在行程问题中，k 表示速度。在费用问题中，k 表示单价或单位时间费用。在工程问题中，k 表示工作效率。 图像的截距 (b)： 截距 b 是图像与 y 轴交点的纵坐标，即当 时的 y 值。 实际意义：通常表示初始状态或固定值。 随堂演练 A. B. C. D. D 1. 若弹簧的总长度 （单位： 是所挂重物 （单位： 的一次函数，图象如图，则该弹簧在自然状态下的长是（　　） 2. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从 市前往 市．他驾车从 市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从 市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 与行驶路程 之间的关系如图所示． （1）求 与 之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为 ，且该车型电量降至 则会出现电亏警报，若王师傅从 市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少 汽车会出现电亏警报． 解：（1）设y=kx+b(0≤x≤240)，代入 ， ， 得： 解得： ， ， 所以 . （2）令x=240时，y＝32， . 令y=10时，则有 ，解得x＝350, 350-240=110, 答：该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报. 实际问题 数学问题 数学模型 数学结论 抽象 数学化 现实化 求解 解决实际问题的基本思想方法 全品初中 即学即练 方法技巧 1.核心方法是待定系数法 关键：从图像中准确找到两个已知点的坐标 2.根据实际问题的意义来确定 x 的取值范围，确保其符合现实逻辑 3.解题过程要始终将图像的直观信息与函数的代数表达式结合起来，做到 “看图识关系，用式解问题” 1.某海岸线上有 A,B两个港口,一艘轮船从 A港口出发,沿海岸线匀速前往B港口.设该轮船行驶的时间为x(h),距B港口的路程为y(km). y与x 之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)求轮船行驶1.5h时与B港口之间的路程. 解：(1)函数表达式为 将，代入，得 ， 解得 函数关系式为： (2)根据题意，把代入到中，得： 解得： 答：轮船行驶1.5h时与B港口之间的路程为100km 即学即练 2.某市出租车的计费方法如图所示,x(km)表示出租车行驶的里程, y(元)表示打车的费用. (1)若某乘客的乘车里程为2.5km,则他需付的打车费是多少元? (2)当时,求y与x 之间的函数关系式. (3)若某乘客一次打车付费36元,求这位乘客的乘车里程. 解：(1)从图像中可以看出，当行驶里程km时，打车费用y是一个固定值，为8元。 因为乘客的乘车里程 ，所以他需付的打车费是8元。 (2)从图像中可以看出，当行驶里程km时，y与x之间的函数关系为一次函数， 过点(3,8),(5,12) 设函数表达式为 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： (3)根据题意，把代入到中，得 解得： 答：这位乘客的乘车里程为17km 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 数形结合 函数建模 课堂小结 一次函数的应用----图象型 已知x求y 已知y求x 已知y的范围求x范围 求代数式的值 解方程 解不等式 $