20.5 一次函数与二元一次方程的关系（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

20.5 一次函数与二元 一次方程的关系 第二十章 一次函数 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 20.1常量与变量 20.2 一次函数图像和性质 20.3用待定系数法确定一次函数表达式 20.4一次函数的应用 正比例函数 一次函数 一次函数的图像 待定系数法求解析式 一次函数表示数量关系 结合图像解决问题 一次函数的性质 建立模型解双函数应用 20.5一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 学 习 目 标 1 2 3 理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式，认识方程的解与函数图象上点的坐标一一对应 掌握一次函数图象交点与二元一次方程组解的联系，能通过联立函数解析式求解方程组，或根据方程组解确定函数交点坐标 初步建立数形结合思想，学会用函数图象直观分析、解决二元一次方程（组）问题，提升几何直观与代数运算能力 知识回顾 二元一次方程： 含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程，一般形式是 二元一次方程有 组解，每组解都是一对有序实数。 两个 1 无数 一次函数： 一次函数解析式是 ，它的图象是一条 ， 图象上任意一点的坐标 都满足函数解析式， 反过来，满足解析式的有序实数对 对应的点都在这条直线上。 直线 情景导入 二元一次方程是 ，一次函数是 。如果我们把二元一次方程 进行变形，用含 的代数式表示 ，是不是就能得到一次函数的形式？ 当我们把 看作未知数时，它是一个二元一次方程；当我们把 看作变量时，它就变成了一个一次函数。 通过刚才的知识回顾，我发现二元一次方程的解是一组有序实数对，而一次函数图象上的点的坐标也是有序实数对，二者在形式上是一致的，这说明它们之间一定存在对应关系。 如果把二元一次方程进行适当变形，就可以转化为一次函数的表达式，由此可以推测：二元一次方程的解，对应着一次函数图象上的点，二者可以相互转化 新知探究 问题探究：方程与函数的联系 二元一次方程可以变形为一次函数. 当时, 分别写出二元一次方程的解和一次函数所对应的点的坐标, 并探究它们之间的关系. 当时，二元一次方程的解如下表所示 3 2 1 0 -1 -2 一次函数所对应的点的坐标依次为,,,,, 我们发现这五组解和五个点的一一对应， 所以猜测二元一次方程 的每一组解， 都与一次函数 图象上的点 完全一致。 新知探究 问题探究一：方程与函数的联系 在图中所示的平面直角坐标系中,画出一次函数的图象 解：可知过点, 如图，确定两点画出直线即可 新知探究 问题探究：方程与函数的联系 (1)若点在一次函数的图象上, 则 是二元一次方程的一组解吗? (2)若是二元一次方程的一组解,则坐标为的点是否在一次函数的图象上? 可以发现二元一次方程的解为坐标的点，都在一次函数的图象上 反过来，一次函数图象上的点的坐标，都是二元一次方程的解 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系 事实上,我们把二元一次方程变形为后, 原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式. 当表示未知数时, 就是二元一次方程; 当 表示变量时,就是一次函数, 且有如下结论: 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上; 反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 注意事项： 1.因为二元一次方程的解一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的， 所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合思想 . 2.以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图像完全重合(是一条直线). 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系 直线与x轴的交点的横坐标 即是二元一次方程中，当时的值； 直线与y轴的交点的纵坐标 即是二元一次方程中，当时的值． 典例分析 例1 已知直线:和直线:. (1)在同一平面直角坐标系中,画出直线 和 的图象. (2)若直线 与直线 相交于点,求点 的坐标. 一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的解. 同理,一次函数图象上任意一点的坐标也都是二元一次方程的解. 所以的坐标就是二元一次方程和的公共解, 即为二元一次方程组的解. 因此,解方程组得 所以,点 的坐标为. 新知探究 一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次函数图像的交点坐标。 反之，两个一次函数图像的交点坐标是这两个一次函数所对应的二元一次方程组的解。 所以，可以通过画两个一次函数图像来找对应的二元一次方程组的解， 反之，可以通过解二元一次方程组来求两个一次函数图像的交点. 注意事项： 用图像法求出的二元一次方程组的解往往是近似值，而用解方程组的方法求出的解是准确值. 即学即练 方法技巧 方程变形有妙招， 移项变号要记牢， 系数化 1 看符号， 两点描图直线飘， 方程函数本同源， 点解对应乐陶陶！ 把二元一次方程改写成一次函数的形式,并画出这个一次函数的图象 解：二元一次方程可写成一次函数 一次函数 过点, 函数图像如图所示 即学即练 方法技巧 方程找解很简单， 给 x 赋值算 y 看； 点在图上怎么验？ 代入函数算一算； 解是点来点是解， 数形结合记心间！ 写出二元一次方程的三组解,并以方程的解为坐标在平面直角坐标系中描点. 这些点是否都在一次函数的图象上? 解：的三组解为坐标的点依次为,, 一次函数图像如图所示 由图像可知这些点都在一次函数的图像上 课堂练习 1. 下列图像中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x－y＝2的解 的为（　B　） A B C D B 解：B项直线过点,, ，是二元一次方程2x－y＝2的解 故选B项 课堂练习 2. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝ x＋ 与直线l2：y ＝kx＋3（k≠0）相交于点A，则方程组的解 为 ⁠. 　 解：由图可知，直线y＝ x＋与直线交于点, 所以方程组的解为 课堂练习 3. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和 的图像. （1） 根据图像可知，方程组的解为 　 　； 　 （2） 根据图像，直接写出不等式的解集. 解：如图所示 (2) 不等式的解集为 课堂练习 4. 已知直线l1：y＝ x＋ 与直线l2：y＝－ x＋6的交点为P，且直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B. (1) 求A，B两点的坐标； 解：（1） 在y＝ x＋ 中，令y＝0，得 x＋ ＝0，解得x＝－3. 点A的坐标为（－3，0）.在y＝－ x＋6中，令y＝0，得－ x＋6＝0，解得x＝4. 点B的坐标为（4，0） (2) 在平面直角坐标系中画出直线l1，l2，标出点A，B，P，并根据图像求方程的解； 解：（2） 如图所示　观察图像，可知直线l1，l2的交点为P（2，3）， 二元一次方程组的解为 课堂练习 （3） 求△ABP的面积. 解：（3） 点A的坐标为（－3，0）， OA＝3. 点B的坐标为（4，0）， OB＝4. AB＝OA＋OB＝7. S△ABP＝ AB×3＝ 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 数形结合 转化与化归 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $