6.4.3.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦正弦定理，通过“献礼二十大”活动中测量旗杆高度的实际问题导入，衔接初中“大边对大角”定性关系，从直角三角形到锐角、钝角三角形逐步探究，用向量法完成证明，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以真实情境激发数学眼光，通过向量法严谨推理培养数学思维，例题回归实际问题体现数学语言应用。分层作业设计助学生巩固提升，教师可依托完整教学链条高效教学，提升学生探究能力与应用意识。

6.4.3.2 正弦定理 《普通高中教科书数学必修第二册（人教A版2019）》 1 问题1：2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利召开，会议主题为“高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面贯彻新时代中国特色社会主义思想，弘扬伟大建党精神，自信自强、守正创新，踔厉奋发、勇毅前行，为全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴而团结奋斗”。某校在“献礼二十大 ，永远跟党走”的活动升旗仪式上，某兴趣小组为测量旗杆高度，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 ，则旗杆高度为多少？ 看台 第一排 最后一排 A B C D E 新课引入 问题2:在初中，怎样描述三角形中角与边的关系？ 问题3：三角形中角与边的长度是否存在定量关系? 大边对大角，小边对小角. 三角形的边角的关系是通过三角函数来体现。我们研究问题，经常从一些特殊情况入手，下面我们先从直角三角形中找出它们的关系 探究定理 在Rt△ABC中,各角与其对边的关系: 不难得到: C B A a b c 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？ 探究定理 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方法来研究.向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ cos(90°-α)=sinα 探究定理 图6.4-10 因为 所以 得 即 也即 所以 过点C作与 垂直的单位向量 ，可得 因此， 如图6.4-10，在锐角三角形ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 . 锐角三角形情形 探究定理 钝角三角形情形 如图6.4-11，在钝角三角形ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 . 图6.4-11 因为 所以 得 即 也即 所以 过点C作与 垂直的单位向量 ，可得 因此， 探究定理 钝角三角形情形 如图6.4-11，在钝角三角形ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 . 图6.4-11 综上所述，可以得到如下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 探究定理 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 定理结构特征: 1、正弦定理的本质是三个恒等式，即 在等式中，都涉及三角形两个边及这两边所对的角. 根据方程思想已知其中三个量，就可求出第四量. 以上定理，在直观感受上给你怎样的感觉？ 定理剖析 2、解决三角形中的问题： ②已知两角和一边，求其他角和边 ①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. 正弦定理 定理剖析 小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。 例1 在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=解这个三角形. 由正弦定理，得 解：由三角形内角和定理得C=120°. 例题讲解 解：由正弦定理 得 Ｂ＝60°, 或Ｂ＝120° 当 时, Ｂ＝60° C=90°， C=30°， 例2 已知a=16 ， b= ， A=30°, 解三角形. 当Ｂ＝120°时， B 16 30° A B C 16 60° 120° 小结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角； 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形. 例题讲解 回归情景 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利召开，会议主题为“高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面贯彻新时代中国特色社会主义思想，弘扬伟大建党精神，自信自强、守正创新，踔厉奋发、勇毅前行，为全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴而团结奋斗”。某校在“献礼二十大 ，永远跟党走”的活动升旗仪式上，某兴趣小组为测量旗杆高度，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为m，则旗杆高度为多少？ 看台 第一排 最后一排 A B C D E 例题讲解 看台 第一排 最 后 一 排 A B C D E 例题讲解 解：由题意知， 所以 由正弦定理知，, 在Rt△ACD中， 即旗杆高度为30m. 看台 第一排 最后一排 A B C D E 天安门的旗杆总长有32.6米，但是每次升旗时只升到28.3米，那是因为：中国共产党成立的时间是在1921年7月，而新中国成立的时间是在1949年10月1日，这两个的时间正好相差了28年3个月。把国旗旗杆高度设为28.3米，就是为了记住这段艰苦卓绝、浴血奋战的历史。 28.3 当堂检测 1.在△ABC中，c=10，,求a,b和B； 2.在△ABC中，求a和A，C. 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课堂小结 必做题：教材P4，练习第1,2题； 选做题：教材P4，习题A组第1,2题. 课后思考：试用其他方法证明正弦定理. 课堂小结 $