6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 要点整合夯基础 课堂达标练经典 课时作业 典例讲解破题型 [课标解读]能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． [素养目标] 水平一：1.结合教材实例了解常用的测量相关术语(数字抽象)2.通过教材实例学会解决有关测量距离高度，计算角度有关的实际问题．(数学运算) 水平二：能够综合运用余弦定理、正弦定理解决实际问题中与距离、高度、角度相关的问题．(数学建模、数学运算) 高 知识点一　　　测量问题中的常用概念 [填一填] (1)基线 ①定义：在测量上，根据测量需要而确定的_________叫做基线． ②性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的_________，使测量具有较高的_________．一般来说，基线越长，测量的精确度越_________． 线段 基线长度 精确度 (2)坡角与坡度 坡面与_________所成的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度与_________之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝eq \f(h,l)＝tanα. 水平面 水平宽度 (3)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和_________视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示)． INCLUDEPICTURE"P43.TIF" 目标 (4)视角 观察物体的两端，视线张开的_________叫做视角，如图所示． (5)方位角与方向角 ①方位角 从正北方向_________转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α，如图所示． 夹角 顺时针 向西 方位角的取值范围为_________． ②方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于_________的水平角．如南偏西60°，指以_________方向为始边，顺时针方向_________旋转60°，如图所示． (0°，360°) 90° 正南 [答一答] 1．方向角和方位角有何区别？ 2．坡角和坡比有什么区别？ 3．测量是否一定要选取基线？ 提示：方向角是指指定方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角． 提示：坡角是坡面与水平面所成的夹角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比． 提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度． 4．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？ 提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直． 5．解三角形应用问题常见的几种情况是什么？ 提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种： (1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解； (2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案． 知识点二　　　　解决实际测量问题的思路和步骤 [填一填] (1)基本思路 (2)一般步骤 ①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解. 类型一　　　距离问题 命题视角1：求可到达点与不可到达点之间的距离问题 [例1]　如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30°角，学生前进200 m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75°角． (1)求点A与参照物C的距离； (2)求河的宽度． [分析]　根据图形，先由已知求出∠ACB，再利用正弦定理求得AC的长度，最后在直角三角形中求出河的宽度． [解]　(1)由已知，得∠ABC＝105°， ∠ACB＝180°－30°－105°＝45°. 在△ABC中， 由正弦定理，得eq \f(200,sin45°)＝eq \f(AC,sin105°)， 所以AC＝eq \f(200sin105°,sin45°)＝100(eq \r(3)＋1)(m)， 即点A与参照物C的距离为100(eq \r(3)＋1)m. (2)河的宽度为 ACsin30°＝100(eq \r(3)＋1)×eq \f(1,2)＝ 50(eq \r(3)＋1)(m)， 即河的宽度为50(eq \r(3)＋1)m. 1．测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决． 2．如图，点B为不可到达点，求A，B的距离的具体解题步骤是： (1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线； (2)测量AC，∠BAC，∠BCA； (3)利用正弦定理解△ABC，得AB＝eq \f(ACsinC,sinB)＝eq \f(ACsinC,sin180°－A－C). [变式训练1]　为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离． 解：根据正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)， ∴AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin∠ABC) ＝eq \f(8sin45°,sin180°－30°－45°) ＝eq \f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq \r(3)－1) (m)． 即A，B间的距离为8(eq \r(3)－1) m. 命题视角2：求不可到达的两点之间的距离问题 [例2]　如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________千米/分钟． [分析]　先在△ACD中利用正弦定理求出AD的长度，在△BCD中利用余弦定理进行求解． eq \f(\r(6),4) [解析]　在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°， ∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°， ∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°. 由正弦定理，AD＝eq \f(CD,sin∠CAD)·sin∠ACD ＝eq \f(1,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(3)＋1,2). 同理，在△BCD中， BD＝eq \f(CD,sin∠CBD)·sin∠BCD＝eq \f(1,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(2),2)＝1. 在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)))2＋12－2×eq \f(\r(3)＋1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). ∴AB＝eq \f(\r(6),2)，∴船速为eq \f(\r(6),4)千米/分钟． 1．测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题． 2.如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，具体步骤是：(1)取基线CD；(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；(3)在△ACD中，解三角形得AC；在△BCD中，解三角形得BC；(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB). [变式训练2]　如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq \r(3) km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°. ∴AC＝CD＝eq \r(3) km. 在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°. 在△BCD中，由正弦定理， 得BC＝eq \f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)(km)． 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA ＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5. ∴AB＝eq \r(5) km. ∴两目标A，B之间的距离为eq \r(5) km. 类型二　　　高度问题 [例3]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图所示，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq \f(2,17) s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) [分析]　由声速可得AC和BC之间的关系，再结合已知A，B之间的距离，可在△ABC中求解得到AC的长，进而在△ACH中，根据条件由正弦定理求得高度CH. [解]　由题意，设AC＝x m， 则BC＝x－eq \f(2,17)×340＝x－40. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x， 解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得eq \f(CH,sin∠CAH)＝eq \f(AC,sin∠AHC)， 所以CH＝AC·eq \f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq \r(6)(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH为140eq \r(6)m. 测量高度问题的解题思路 对于底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题，先用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题，这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间中构造三棱锥，再依据条件，利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量的物体的高度． [变式训练3]　(1)如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是(　 　) A．100 m　　　　　　　 B．400 m C．200 m D．500 m D 解析：设AB＝x m， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 所以BC＝AB＝x m； 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， 所以BD＝eq \r(3)x m，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m， 由余弦定理得(eq \r(3)x)2＝x2＋5002－2x×500×cos120°，解得x＝500(负值舍去)． (2)如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过一分钟后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方 向飞行，则飞机的高度为______________km. eq \f(15\r(3)＋1,4) 解析：由题意知，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°， 设飞机高为h km， 则BD＝CD＝h km，AD＝eq \r(3)h km. 又AB＝450×eq \f(1,60)＝7.5(km)， 由AD－BD＝AB得eq \r(3)h－h＝7.5. 所以h＝eq \f(7.5,\r(3)－1)＝eq \f(15\r(3)＋1,4)(km)． 类型三　　角度问题 [例4]　某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10 eq \r(3) km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． [分析]　由题意知，要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间，可设靠近的位置为B处．因此只要确定∠BAC及AB的值即可．故先设出舰艇与渔船靠近的时间t，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解． [解]　如图所示，设t h后，舰艇与渔船在B处靠近， 则AB＝10eq \r(3)t，CB＝10t， 在△ABC中，根据余弦定理， 则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°， 可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)． 所以舰艇需1 h靠近渔船．此时AB＝10eq \r(3)，BC＝10. 在△ABC中，由正弦定理， 得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB ＝eq \f(BCsin120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2). 又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°. 所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°. 所以舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1 h. 1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间．由于舰艇与渔轮同时在移动，因此相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B，画出可以求解的三角形． 2．解决这类问题，首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解，体现了数形结合与方程的数学思想方法． [变式训练4]　如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于(　 　) A.eq \f(\r(3),2)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1 C 解析：在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(AC,sin135°)， ∴AC＝100eq \r(2) m. 在△ADC中，eq \f(AC,sinθ＋90°)＝eq \f(CD,sin15°)， ∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin15°,CD)＝eq \r(3)－1. 1．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B，C间的距离是(　 ) A．10eq \r(3)海里 B.eq \f(10\r(6),3)海里 C．5eq \r(2)海里 D．5eq \r(6)海里 D 解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq \f(10,sin45°)＝eq \f(BC,sin60°)， ∴BC＝5eq \r(6)海里，故选D. 2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　 　) A．50eq \r(3) m B．100eq \r(3) m C．50 m D．100 m A 解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 由正弦定理得eq \f(AC,sinD)＝eq \f(DC,sin∠DAC)，所以AC＝DC＝100 m， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq \r(3) m. 3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 eq \r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为(　 　) A．4 km B．6 km C．7 km D．9 km C 解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°， 由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq \r(3)×2×cos150°＝49， 所以AC＝7，所以A，C两地距离为7 km. 4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____km. 7 解析：因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中， 由余弦定理可得AC2＝82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝ 32＋52－2×3×5×cosD，整理得cosD＝－eq \f(1,2)， 代入得AC2＝32＋52－2×3×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，故AC＝7. 5．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq \r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝eq \r(3)at海里， B＝180°－60°＝120°， 由eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sinB)， 得sin∠CAB＝eq \f(BCsinB,AC)＝ eq \f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． ——本课须掌握的三大问题 1．数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想． 2．解三角形应用题的具体操作程序 (1)在弄清题意的基础上作出示意图； (2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量； (3)用正、余弦定理进行求解； (4)根据实际意义与精确度要求给出答案． 3．解三角形应用题常见的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． $